數學～空間與平面 急

Question

１
直線到平面的正投影方程式怎麼算？
就給我個例題跟解析就好．
分別有平行平面跟不平行，垂直就不用了（投影＝一點）

２
直線上衣點到兩平面等距離時
這點的座標
一樣一個例題跟解析就好

同上題
如果兩平面到這點非等距離而是距離成比例的題目又怎麼算？

３
兩直線的公垂線方程式
１平行線
２歪斜線
３交線

兩條直線的距離
１平行線
２歪斜線
３交線

依樣也都是給例題解析就好

謝謝

Answer 1

一. 直線上任取兩點A,B,求其至平面的投影點A', B',再求A', B'兩點連線的方程式即可

二. 設平面E1: 2x+3y-6z=4 E2: x-2y+2z= 5 : 直線L: x-1=(y-2)/2=z/3
欲求直線上點P(t+1, 2t+2, 3t) (參數式)
使d(P, E1): d(P, E2)=2:1, 則
|2(t+1)+3(2t+2)-6(3t)-4|/7 : |t+1-2(2t+2)+2(3t)-5|/3 = 2 : 1
交叉相乘,再去絕對值,則
3(4-10t)=14(3t-8) 或 3(4-10t)=-14(3t-8)
求得t,再代入P之參數式即得所要之點

三.
(1)兩平行線之距離=任取一點至另一直線距離即可
例:求點A(1,2,3)至L:x=(y-1)/2=(z+1)/2之距離
解:設直線L上點P(t, 2t+1, 2t-1), 則
AP之距離^2=(t-1)^2+(2t-1)^2+(2t-4)^2
配方求最小值,則t=11/9, 距離=√(41/9)
公垂線無限多,沒啥好求的
(2)歪斜線case,方法很多,課本或參考書上多得是,請自行參酌
(3)相交直線case
先求交點,再求公垂向量即得
例:求L1:(x-1)/2=y=z+1 與L2: x-1=y+1=(z+4)/2之交點及公垂線
解:(交點)
將L1參數化得P(2t+1, t, t-1)代入L2,則
2t=t+1=(t+3)/2==> t=1,交點P(3, 1, 0)
(公垂向量)
L1方向向量與L2方向向量外積=(2,1,1)x(1,1,2)=(1,-3,1)
故公垂線為x-3=(1-y)/3=z