Qual é a integral de 1/sen(x) dx ?Obrigada!?

Answer 1

Lembre que

sen x = sen (x/2 + x/2)=2 senx/2 cos x/2 entao

∫ 1/senx dx=
∫ 1/2 senx/2 cos x/2 dx= multiplica e divide por cos x/2
∫ cos x/2 / 2 senx/2 cos² x/2 dx= mas cos² x/2=1 -sen² x/2
∫ cos x/2 / 2 senx/2 (1 -sen² x/2) dx
agora faça a mudança de variáveis t=senx/2 então
dt=1/2 cos x/2 dx
logo a integral se transforma em:
∫ 1 / t (1 -t²) dx
que agora se resolve facilmente por fraçoes parcias.

Não sei se é mais fácil que a solução do amigo Steiner mas é uma opção, e tambem funciona bem para reduzir várias outra integrais trigonometrica a integrais de quocientes de polinomios. No fundo é equivalente.

Answer 2

Faça a substituicão trigonométrica sen(x) = 2 tan(x/2)/(1 + tan^2(x/2)) => 1/sen(x) = csx(x) = (1 + tan^2(x/2)) (2tan(x/2)).

Fazendo u = tan(x/2), vem x = 2arc tan(u), dx = 2du/(1 +u^2). A integral fica

Int (1 + u^2)/(2 u) * 2du (1 + u^2) = Int du/u = ln(u) + C = ln(tan(x/2) + C.

Com algumas transformações trigonométricas, voce conclui que esta integral é tambem dada por - ln(csc(x) + cotg(x)) + K

As funções ln(tan(x/2) e -ln(csc(x) + cotg(x)) diferem de uma constante