Preciso de ajuda em uma demonstração?

Question

olá!!!!
estou com dificuldades de fazer uma demonstração, será que você poderia de dar alguma dica de como demonstrar que
(A – B) U (B – A) = (A U B ) – ( A ∩ B) ????
desde já agradeço a colaboração!!!!
abraços

Answer 1

Vamos entender

(A – B) -->>> saõ todos elementos exclusivos de A que não tem em B
(B – A) ---->>> saõ todos elementos exclusivos de B que não tem em B
Logo
(A – B) U (B – A) = são todos os elementos exclusivos de A
com o B...

(A U B) .. são todos os elementos de A exclusivos de A
Com todos os Elemntos Exclusivos de B com os todos os elementos Comuns a A e a B

( A ∩ B) -->>são os elementos Comuns a A e a B


(A – B) U (B – A) = (A U B ) – ( A ∩ B) é o que se quer demostrar

Multiplique como se voce o operador x

desnvolvendo temos :

AUB - AUA - BUB + BUA

agora Devemos saber que :

AUA = A {Auniaõ de um conjunto com ele mesmo é ele mesmo}

BUB = B {Auniaõ de um conjunto com ele mesmo é ele mesmo}

AUB = A + B - A∩B --->>>

BUA = B + A - B∩A


Sabido isto podemos então continuar a demostração :

AUB - AUA - BUB + BUA =
(A + B - A∩B) - (A) - (B) + (A + B - B∩A) =

A + B - (A∩B + B∩A) =

porem

A + B = AUB - A∩B

continuando ...

AUB - A∩B - (A∩B + B∩A) =

AUB - (A∩B +A∩B + B∩A) =

porem Novamente

A∩B=B∩A E

(A∩B +A∩B )=(A∩B)U(A∩B)=(A∩B) Logo

(A∩B +A∩B + B∩A) = A∩B

dai

AUB - (A∩B +A∩B + B∩A) =

AUB - (A∩B) ... Fechando a prova

Answer 2

Inicialmente, observe que X - Y = X ∩ X', sendo X' o complementar de X com relação ao conjunto universo.

Lembrando que a intersecção apresenta a propriedade distributiva com relação à união, temos que

(A – B) U (B – A) = (A ∩ B') U (B ∩ A') = (A U B) ∩ (A U A') ∩ (B' U B) ∩ (B' U A').

Como A U A' e B' U B são o próprio conjunto universo, temos que

(A – B) U (B – A) = (A U B) ∩ (B' U A')

Pelas leis de De Morgan, temos que B' U A' = (A ∩ B)', de modo que

(A – B) U (B – A) = (A U B) ∩ (A∩ B)' = (A U B) - (A ∩ B) , completando a prova.

Answer 3

To com dificuldade!

Answer 4

Olá eu bem que gostaria de te ajudar, mas que tipo de demonstração você quer que eu faca. Você está procurando algum exemplo prático para essa tua formula?
Um Abraço

PS. Gostei da figura do teu avatar

Answer 5

Um demonstração simples seria por meio de diagramas de Venn

Teríamos dois casos:

Caso 1 : (A ∩ B) = vazio

Vc desenharia algo do tipo :

A
_________
|................|
|_________|

B
_________
|................|
|_________|

Ai marcaria a regịo que representa (A РB) U (B РA)

Depois desenharia de novo os mesmos conjuntos e marcaria a região que representa (A U B ) – ( A ∩ B)

Vc verá que a região marcada será a mesma (todo o conjunto A e todo o conjunto B)


Caso 2 : (A ∩ B) não é vazio

Vc desenharia algo do tipo :

A.........__________ B
______|___ ............|
|..........|___|_______|
|_________|



Ai marcaria passo a passo a regịo que representa (A РB) U (B РA)

Depois desenharia de novo os mesmos conjuntos e marcaria passo a passo a região que representa (A U B ) – ( A ∩ B)

Vc verá que a região marcada será a mesma (tudo menos a interseção de A com B)

Kisses

=**