Help Bernulli?

Question

Salve ragazzi..qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi la dimostrazione della "Disuguaglianza di Bernulli" sfruttando il principio di induzione??

(1+x)^n >= 1+nx

Grazie a tutti..ciao

Answer 1

Il principio di Induzione, a grandi linee, è il seguente:
Data un'asserzione A(n) che dipende da n, dove n appartiene a N, l'insieme dei numeri naturali, si dimostra che A(n) è vera per tutte le n in N, se valgono le seguenti due condizioni:
1) A(0) è soddisfatta.
2) Supponendo che valga A(n), allora deve valere pure A(n+1).

Nel tuo esempio:
Data l'asserzione
A(n): (1+x)^n >= 1 + nx (per tutte le x diverse da -1)
Verifichiamo che l'asserzione è vera per tutte le n in N, verificando le due condizioni:
1) A(0):
(1+x)^0 >= 1 + 0
1>=1 (x diverso da -1) OK!
Perciò A(0) è soddisfatta.

2)
Supponiamo adesso che A(n) sia vera, cioè sai che adesso vale
(1+x)^n >= 1+nx (ipotesi di induzione)
Dobbiamo adesso verificare però che anche A(n+1) è vera, utilizzando il fatto che A(n) sia vera.
Perciò
(1 +x)^(n+1) = (1+x)^n *(1+x)
Per ipotesi di induzione, si può dire che:
(1+x)^n *(1+x) >= 1+nx*(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2
Adesso consideriamo il termine nx^2 per tutte le x diverse da -1. Visto che c'è il termine x^2 il termine sarà positivo, come pure lo è n, visto che appartiene a N. Perciò il numero nx^2 è sicuramente >=0.
Perciò
1 + (n+1)x + nx^2 >= 1 + (n+1)x
Ma questa è esattamente quello che volevamo, cioè:
(1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)*x
E quindi A(n+1) è vera.
C.V.D.

Ciao!

Answer 2

La disuguaglianza è banalmente vera per n = 0. Dimostriamola allora per induzione. Supponiamo che sia vera per n: allora dobbiamo dimostrare che è vera anche per n + 1. Moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + x), fattore che è sempre maggiore o uguale a 0 per ipotesi. Otteniamo:

(1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x)
(1 + x)n+1 ≥ 1 + x + nx + nx2
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (1 + n)x + nx2

Poiché nx2 ≥ 0, l'omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

(1 + x)n+1 ≥ 1 + (1 + n)x + nx2 ≥ 1 + (1 + n)x Q.E.D.

Answer 3

no, gioia.E' passato troppo tempo dalla mia vita scolastica