Como provar que as raízes de P não tem as duas partes racionais?

Question

Este me parece um problema interessante, ainda estou pensando nele.

Seja P um polinômio com coeficientes reais e inteiros tal que (1) - o número total de coeficientes ímpares é ímpar; (2) O coeficiente do termo líder e o coeficiente do termo independente são ímpares.

Como em P(x) = x^3 - 5x^2 + 6x + 7

Mostre que P não possui nenhuma raiz na qual as partes real e imaginária sejam ambas racionais.

Answer 1

Olá, (EDITADO)

Olha realmente este é um problema muito curioso, até porque a principio eu não vejo muita relação entre a paridade dos coeficientes e propriedades de racionalidade das raizes. Seria mais natural uma restriçao de divisibilidade como no critério de Eisenstein.

De qualquer modo eu não sei como resolver, agora, é claro que se considerarmos este polinômio em particular P(x) = x^3 - 5x^2 + 6x + 7, e escrevermos z=p+iq com p e q em Q, dá para fazer umas contas interessantes e chegar duas possiveis escolhas para a parte real e depois tem que analizar as raizes da outra parte.

A minha unica contribuiçao neste momento é sugerir uma abordagem via álgebra abstrata:
Considere a adjunção de raíz Q[i]= { p +i q | p, q em Q} isto é claramente um corpo que contem o anel Z[i], agora seu problema é mostrar que o subconjunto
F= Polinômios em Z(x) tais que
(1) - o número total de coeficientes ímpares é ímpar;
(2) O coeficiente do termo líder e o coeficiente do termo independente são ímpares.

Não contem polinomio fatoráveis em mônicos de Q[i](x).

Tem várias coisa a serem exploradas ai:
Propriedades algébricas de F em Z[i](x) e Q[i](x) (é anel, ideal, etc)
Relaçoes entre em Z[i](x) e Q[i](x)

Talvez seja um bom caminho, embora meus conhecimentos em extensoes de corpos sejam bem limitados.

Outra possibilidade é que tem que fazer no braço, separando parte real e imaginária, mais ai deve dar um belo trabalho.

Vou pensar tambem.

Sorry!

Abraço

Answer 2

Suas perguntas são muito difícieis para mim :(

Quem sabe um dia rs

Kisses

=**