Preciso da resoluções dessas progressões aritmeticas.?

Question

1) Em uma PA, o termo de ordem n é an a8 - a7 = 3 e a7 + a8 = -1. Nessa progressão a15 vale?

2) Sabe-se de uma P.A. que a soma do 6º com o 16º termo é 58 e que o 4º termo é o quadruplo do segundo termo. Qual, entre os numeros nao é termo desta progressão?
a) 8 b) 11 c) 20 d) 25 d) -1 (preciso da resolução)


3)Se f(n), e n (pertence a) IN, é uma sequencia definida por:
{f(o) = 1
{f(n+1) = f(n) + 3, calcule f(200).

4) Usando a PA. quantos numeros inteiros, compreendidos entre 1 000 e 10 000, não admitem 3 ou 7 como fatores primos?

5) Na PG (2logx, 2logy, 2logz), quanto vale y?

Answer 1

Olá:
1)
a8 - a7 = 3
Isto dá a razão "r" (termo atual menos termo anterior):
r = 3

Você precisa, agora resolver o sistema de equações:
a8 - a7 = 3
a7 + a8 = -1

a8 = 3 + a7
a7 + a8 = -1
a7 + 3 + a7 = -1
2.a7 = - 1 - 3
a7 = -2
a8 = 3 + a7
a8 = 3 - 2
a8 = 1

Então:
a1, ..., a6, -2, 1, a9, ..., a15
Ok?
A fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n - 1).r
então, a1:
a7 = a1 + (7 - 1).3
-2 = a1 + 18
a1 = -20
Logo:
a15 = -20 + (15 - 1).3
a15 = 22


2)
a6 + a16 = 58
a4 = 4.a2

an = a1 + (n - 1).r
a4 = a1 + (4 - 1).r
a4 = a1 + 3.r
a1 = a4 -3.r

a2 = a1 + (2 - 1).r
a2 = a1 + r
a1 = a2 -r

a4 -3.r = a2 -r
mas:
a4 = 4.a2

Então:
4.a2 - 3.r = a2 -r
3a2 = 2.r
a2 = 2.r / 3

Agora:
a6 + a16 = 58
an = a1 + (n - 1).r
a6 = a1 + (6 - 1).r
a6 = a1 + 5.r
a16 = a1 + (16 - 1).r
a16 = a1 + 15.r
a6 + a16 = a1 + 5.r + a1 + 15.r
a6 + a16 = 2.a1 + 20.r = 58
2.a1 + 20.r = 58
2.a1 = 58 - 20.r
a1 = 29 - 10.r

Mas, vimos que:
a1 = a2 - r
e
a2 = 2.r / 3
Então:
29 - 10.r = 2.r / 3 - r

87 - 30.r = 2.r - 3.r
87 = 29.r
r = 3

Tomando novamente a equação:
a1 = 289 - 10.r

Então:
a1 = 29 - 10.3
a1 = -1

A PA será, então:

{-1; 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; ...}

A resposta: letra D (25 NÃO é termo desta PA)

3)
f(0) = 1
f(n+1) = f(n) + 3, calcule f(200).
se n = 0, então:
f(n+1) = f(n) + 3
f(0+1) = f(0) + 3
Logo:
f(1) = 1 + 3
f(1) = 4

Agora, você tem:
f(0) = 1
f(1) = 4

se n = 1, então:
f(n+1) = f(n) + 3
f(1+1) = f(1) + 3
f(2) = 4 + 3
f(2) = 7

se n = 2, então:
f(n+1) = f(n) + 3
f(2+1) = f(2) + 3
f(3) = 7 + 3
f(3) = 10

Agora você tem:
f(0) = 1
f(1) = 4
f(2) = 7
f(3) = 10

Note que os termos formam uma PA de razão r = 3
Vamos atribuir o 1º termo a1 como sendo f(1), ok?
Assim, o termo a200 será f(200). Fica mais fácil, né?
Então:
an = a1 + (n - 1).r
f(200) = 4 + (200 - 1).3
f(200) = 601

4)
Ou seja, números que não são divisíveis por 3 e por 7.
Se não pode ser divisível por 3, também não pode ser divisível por 6 e por 9 (2.3 = 6 e 3.3 = 9)
Mas pode por: 1, 2, 4, 5 e 8
"quantos numeros inteiros...não admitem 3 ou 7 como fatores primos?"
São os divisíveis por 1, 2, 4, 5 e 8.
Então:
O total de números, de 1000 (inclusive) a 10000 (inclusive) são T = 10001 números

Os números que admitem 3 ou 7 como fatores primos são:

Os que são divisíveis por 3:
1002; 1005; 1008; 1011; 1014; 1017; 1020; 1023;...; 9999
PA de razão r = 3
a1 = 1002
an = a1 + (n - 1).r
9999 = 1002 + (n - 1).3
8997 = (n - 1).3
2999 = n - 1
n = 3000 termos

Os que são divisíveis por 7:
1001; 1008; 1015; 1022; 1029; 1036; 1043; 1050;...; 9996
PA de razão r = 7
a1 = 1001
an = a1 + (n - 1).r
9996 = 1001 + (n - 1).7
8995 = (n - 1).7
1285 = n - 1
n = 1286 termos

Portanto, a quantidade de números (Q) que admitem 3 ou 7 como fator primo é:
Q = 3000 + 1286
Q = 4286 números

Portanto, a quantidade de números (X) que NÃO admitem 3 ou 7 como fator primo é:

X = T - Q
X = 10001 - 4286

X = 5715 números.

5)
2logx, 2logy, 2logz
Se é uma PG, significa que o termo posterior vale o anterior vezes a razão (r):
então:
2logy / 2logx = 2logz / 2logy = r

logy / logx = logz / logy

(logy)² = logx.logz

logy = raizq(logx.logz)

raizq(logx.logz) leia raíz quadradado que está no ()

RESPOSTA: y = 10^[raizq(logx.logz)]

10^[raizq(logx.logz)] leia 10 elevado ao que está no [ ]

Se você quiser, você ainda pode deixar y em função da razão e de x, ou deixar y em função da razão e de z

Colocando logx e logz em função de logy e da razão "r":

2logy = r.2logx
logx = logy / r
2logz = r.2logy
logz = r.logy

Da equação: (logy)² = logx.logz

(logy)² = (logy / r).logz
logy = logz /r
y = 10^[logz /r]

OU

(logy)² = logx.r.logy
logy = r.logx
y = 10^[r.logx]

As possíveis respostas são, então:
y = 10^[raizq(logx.logz)]
y = 10^[logz /r]
y = 10^[r.logx]

Ok?
Espero ter ajudado!