Como provar que lim n a_n = 0?

Question

Eu estou me iniciando em seqüências e Análise, tenho alguma dificuldade na forma lização de provas. Gostria de ajuda para mostrar que:

Se a_n é uma seqüência monoticamente decrescente de termos não negativos tal que Soma (n=1, oo) a_n converge, então lim n a_n = 0. Mostre que, embora necessária, esta condição não é, entretanto, suficiente para a convergência da série.

Obrigado

Answer 1

Como Soma(n=1, oo) a_n converge, o critério de Cauchy para séries implica que, para todo eps > 0, exista um natural k tal que, se n >= k, então

| a_k + ...a_n| = a_k +...a_n < eps (1) (considerando que os termos de a_n são não negativos)

Com a_n é monotonicamente decrescente, temos que

a_k+ ...a_n >= a_n +...a_n = (n - k + 1) a_n (há n – k + 1 termos no membro da esquerda).

Combinando (1) e (2), concluímos que, se n >= k, então

0 <= (n – k +1) a_n < eps. Logo,

0 <= n a_n < eps + (k –1) a_n (3)

Como Soma(n=1, oo) a_n converge, temos que a_n --> 0. Mantendo-se eps e k fixos e observando-se que (3) vigora para todo n>= k, ao fazermos n --> oo obtemos

0 <= lim sup n a_n <= lim sup (eps + (k –1) a_n) = lim (eps + (k –1) a_n) = eps, pois a_n --> 0. Desta forma,

0 <= lim sup n a_n < eps, válida para todo eps >0. Para que isto seja possível, temos necessariamente que lim sup n a_n =0. E como os termos de n a_n nunca são negativos, temos também que lim inf n a_n >= 0. Logo,

0 = lim sup n a_n <= lim inf n a_n, o que implica imediatamente que lim n a_n = 0, provando o teorema.

Acho interessante mencionar que este teorema proporciona um meio simples e muito pouco divulgado de demonstrar que a série harmônica diverge. Os termos a_n = 1/n são positivos e decrescentes, de modo que, pelo que vimos, uma condição necessária à convergência de Soma 1/n é que lim n a_n = 0. Mas, para todo n, n a_n = 1, de modo que a condição lim n a_n = 0 não é satisfeita ( o limite é 1). Assim, Soma 1/n diverge.

Para vermos que a condição lim n a_n = 0 não é, entretanto, suficiente para a convergência da série, definamos a_n = 1/(n ln(n)), n =2,3,4....É imediato que a_n é decrescente e que seus termos são positivos. Além disto, lim n a_n = lim 1/(ln(n)) = 0. Mas Soma (n =2, oo) 1/(n ln(n)) diverge, conforme podemos ver pelo teste da integral (que se aplica pois os termos são positivos e decrescem com n):

Integral (2, oo) 1/(x ln(x)) dx = Integral (2, oo) (1/x)/ (ln(x)). Como 1/x é a derivada de ln(x), temos que uma das primitivas de 1/(x ln(x)) é ln (ln(x). Logo,

Integral (2, oo) 1/(x ln(x)) dx = ln(ln(x)) (2 a oo) = oo, pois ln(ln(x)) --> oo quando x --> oo. Dado que a integral diverge, segue-se que a série também diverge. Assim, a_n é monoticamente decrescente, tem termos positivos, satisfaz a lim n a_n = 0, mas Soma a_n diverge.

Abraços
Steiner