Ajuda com lim inf e lim sup de seqüências, por favor?

Question

Eu ainda tenho uma certa dificuldade para trabalhar com estes conceitos, gostaria de ajuda nesta demonstração.

Sejam a_n uma seqüência real, p_n uma seqüência de pesos positivos e s_n a seqüência das médias ponderadas de a_n com relação a p_n, isto é,

p_n = (Soma(k =1,n) p_k * a_k)/(Soma(k=1,n) p_k)

Mostre que, se Soma (n=1, oo) p_n divergir, então

lim inf a_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim sup a_n

desigualdade válida não apenas em R mas nos reais extendidos, considerando-se oo e - oo.

Neste caso, conclua que se lim a_n = a, finito ou infinito, então lim s_n = a

(Esta última conclusão é obvia, demonstrada a desigualdade, ela está automaticamente demonstrada, certo? Assim como a desigualdade do meio vale para qualquer seqüência de números reais)

Mostre que, se Soma (n=1, oo) p_n convergir, então podemos ter lim a_n = a e lim s_n = s diferente de a.

Um usuário do YR, o Steiner, me deu uma sugestão: para a desigualdade da esquerda:

Se lim inf a_n = -oo, nada temos a demonstrar. Se lim inf a_n for real, então para todo w < lim inf a_n existe um inteiro positivo k tal que a_n > w para n > k. Particione o numerador de p_n en 2 parcelas, uma até k, outra de k+1 até n, veja o que dá. Considerando que o denominador vai para oo com n, conclua que w < lim inf s_n, válida para todo w < lim inf a_n

Mas me enrolei

Answer 1

Olá,

tenho uma opniao um pouco diferente, olha só:
SEJA ε>0.

Sabemos que:
s_n = (∑(k =1,n) p_k * a_k)/(∑(k=1,n) p_k)

Agora se lim inf a_n= -∞ pronto vale a desigualdade da esquerda, senao se lim inf a_n=L, note que a quantidade de termos de a_n menores que L-ε tem que ser finita, do contrário o lim inf seria menor que L. Seja N natural tal que a_n ≥ L-ε, para todo n≥N.
Entao separando o somatório de s_n em dois teremos

s_n = (∑(k =1,N) p_k * a_k)/(∑(k=1,n) p_k) +
(∑(k =N+1,n) p_k * a_k)/(∑(k=1,n) p_k)

denotando ∑(k =1,N) p_k * a_k=Cte e usando a_k ≥ L-ε no segundo somatório vem

s_n ≥ cte/(∑(k=1,n) p_k) +
(∑(k =N+1,n) p_k * (L-ε))/(∑(k=1,n) p_k)=
= cte 1/(∑(k=1,n) p_k)+
(L-ε) * (∑(k =N+1,n) p_k )/(∑(k=1,n) p_k)

Como 1/(∑(k=1,n) p_k) --->0 pois ∑(n=1, oo) p_n diverge
e (∑(k =N+1,n) p_k )/(∑(k=1,n) p_k) ---> 1

vemos que lim inf S_n ≥ L-ε= lim inf a_n - ε.

FAZENDO ε --->0, TEMOS A DESIGUALDADE DESEJADA.

Como vc mesmo disse a desigualdade do meio sempre vale até nos reais extendidos.

Agora vamos à da direita:
se lim inf a_n= +∞ pronto vale a desigualdade da direita, senao se lim sup a_n=M, note que a quantidade de termos de a_n maiores que M+ε tem que ser finita, do contrário o lim sup seria maiorr que M. Seja N natural tal que a_n ≤ M+ε, para todo n≥N.
Entao separando o somatório de s_n em dois teremos

s_n = (∑(k =1,N) p_k * a_k)/(∑(k=1,n) p_k) +
(∑(k =N+1,n) p_k * a_k)/(∑(k=1,n) p_k)

denotando ∑(k =1,N) p_k * a_k=Cte e usando a_k ≤ M+ε no segundo somatório vem

s_n ≤ cte/(∑(k=1,n) p_k) +
(∑(k =N+1,n) p_k * (M+ε))/(∑(k=1,n) p_k)=
= cte 1/(∑(k=1,n) p_k) +
(M+ε) * (∑(k =N+1,n) p_k )/(∑(k=1,n) p_k)

Como 1/(∑(k=1,n) p_k) --->0 pois ∑(n=1, oo) p_n diverge
e (∑(k =N+1,n) p_k )/(∑(k=1,n) p_k) ≤ 1 (são positivos)

vemos que lim sup S_n ≤ M+ε= lim sup a_n +ε.

FAZENDO ε --->0, TEMOS A DESIGUALDADE DESEJADA.

Vamos à segunda parte:

É claro que aqui tem que dar um exemplo, e pelo demonstrado acima deve ser um exemplo onde
lim inf a_n < lim sup a_n

Já te digo o que acontece quando ∑(n=1, oo) p_n converge:
Seja p_n=1/2^n e a_n=(-1)^n

É claro que ∑(n=1, oo) p_n converge pois é série geométrica, e lim inf a_n=-1

Entretanto,
s_n = (∑(k =1,n) 1/2^k * (-1)^k)/(∑(k=1,n) 1/2^k)=
(3((-1/2)^n -1))/(1-1/2^n) ---> -3

As contas aqui são só de PG, ok.

Se quiseres detalhe opcionais deixe comentários.

Abraço,
$#$

Retificação: De fato o amigo Steiner tem razão e agredeço pelo alerta. Eu deveria ter dito "Não existe ponto de acumulação da sequencia menor que L", moralmente esta certa a prova mas isto é análise então então devemos ser rigorosos. Para mostrar que a prova está bem construída vou consertá-la só adicionando um ε. As partes em maiusculas foram aducionadas na correçao. E, é claro que nossos argumentos se parecem sim por isto que eu disse "um pouco diferente" :=)

Answer 2

A prova que Man Ager apresentou é bem parecida com a que sugeri, segue o mesmo raciocínio. Mas há um sutil equívoco quando ele diz:

"note que a quantidade de termos de a_n menores que L tem que ser finita, do contrário o lim inf seria menor que L"

Isto não é verdade. É perfeitamente possível que todos os termos de uma seq. sejam estritamente menores que seu lim inf, assim como podem ser estritamente maiores que seu lim sup. Um exemplo trivial é a_n = 1/n. Temos lin inf a_n = lim sup a_n = lim a_n =0 e, entretanto, a_n > 0 = lim sup a_n para todo n. Se tomarmos a_n = -1/n, então a_n < lim inf a_n para todo n, e não apenas para um número finito de índices n.

É por isso que, na minha sugestão, disse para trabalhar com um w < lim inf a_n e, através de um processo análogo ao de Man Ager, concluir que w <= lim inf s_n. Como w é arbitrário, isto prova que lim inf a_n <= lim inf s_n. A desigualdade da direita é provada de forma similar, com base em u > lim sup a_n.

Se w < lim inf a_n,(desigualdade estrita) então, aí sim, temos a_n < w para um número de fato finito de índices n. Similarmente, se u > lim sup a_n, então a_n > u só ocorre para um número finito de n's.

Abraço para todos
Steiner

Answer 3

LOL......XD!!!