什麼是傅立葉積分?

Question

如題，大學高等工程數學題目

什麼是傅立葉積分?

要有證明，圖形

最好是英文的解答

Answer 1

這位同學，傅立葉積分和傅立葉轉換是很相關的，在此之前，你可能要先了解到一些數學歷史，傅立葉轉換是一種計算轉換，而它是為了解決更早以前拉氏轉換不能解決的問題
那什麼是拉氏轉換，對於微積分的方程式，在很複雜的多次微積分方程式，如果要一次一次的降次求解，就太麻煩了！於是有個法國數學家Laplace發明了拉氏轉換轉，他用一種轉換的觀念把微積分簡化，求解之後再用逆轉換，即可求回原式。
但是拉氏轉換只能解一些基本的問題，對於自然界還有很多問題就很難解出，於是傅立葉又想到用一種利用三角函數替換（其實就只是正弦和餘弦兩種）他發現所有的函數都是可以被化為三角函數的關係，不管是線性還是非線性，經過傅利葉的轉換後，你就發現一堆現都能被求解。
以下是摘錄別人的作答：
首先我們必須知道 Fourier 轉換與 Laplace 轉換的數學定義，Fourier 轉換的數學定義為：
F{ ƒ(t) }≡∫ƒ(t)e-jωtdt = F(ω)　,　積分範圍：- ∞ ～ ∞
　　Fourier 轉換就是將時域函數( 訊號 ) ƒ(t) 乘上 e-jωt 然後對時間 t 做積分，積分範圍從負無限大到正無限大，積分出來的結果就是頻域函數 F(ω)。
　　Laplace 轉換的數學定義為：
{ ƒ(t) }≡∫ƒ(t)e-stdt = F(s)　,　積分範圍：0 ～ ∞
　　Laplace 轉換是將時域函數( 訊號 ) ƒ(t) 乘上 e-st 然後對時間 t 做積分，積分範圍從零到正無限大，積分出來的結果是頻域函數 F(s)。
　　由以上的定義知道，Fourier 轉換與 Laplace 轉換計算出來的數學結果都是表示頻域函數，只是使用上，Fourier 轉換較具彈性，原因是 Fourier 轉換的積分範圍是負無限大到正無限大，而 Laplace 轉換的積分範圍是零到正無限大！
　　在工程上很多狀況可以數學式表達，當然也包括周期性函數，而很多周期性函數是向橫軸的負無限大與正無限大延伸，尤其是處理訊號方面的問題更是如此，是故要以 Fourier 轉換來處理，但不是說 Laplace 轉換不好用！
　　Laplace 轉換的數學計算較簡單，一但可拿來處理物理、數學、工程方面的問題時，表示可以用簡單的計算來解決，如電路學中有「開關」電路的問題，就是暫態響應( transient response )的計算，原本是以微分方程式來計算，但以 Laplace 轉換計算時可將數學過程大大簡化，十分具便利性！
　　但是在電路學中，Laplace 轉換能做的，Fourier 轉換一定能做！只是數學計算上較為複雜而已。
通常會應用最多的是電機、電子、物理、化學這些基礎性理工科系。

Answer 2

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Answer 3

0分
人家是問傅立葉積分
而不是傅立葉轉換