T. der medidas - podem me ajudar com esta demonstração sobre convergência um forme?

Question

Sejam (X, M, m) um espaço de medidas e seja f_n uma seqüência de funções integráveis, definidas em X e com valores em R, que convirja uniformemente para um função f. Mostre que, se m(X) < oo, então f é integrável e lim Int f_n dm = Int f dm.
Mostre que esta conclusã pode falhar se m(X) = oo.

Este é um dos problemas do livro do Bartle. Resolvi vários , mas estou com dificuldadaes nest. Obrigada.;

Tive uma boa resposta! Será quer ninguém mais vai responder?

Answer 1

Eu conheço 2 provas para este teorema, vou apresentar uma que me parece mais interessante. Gostaria de frisar que esta prova não se limita a seqüências de funções com valores nos reais. Vale igualmente quando os valores estão no conjunto dos complexos.

Na prova a seguir, deduzo que você conheça os fundamentos da Teoria de Medidas. Ou não estaria fazendo esta pergunta, certo?

Seja eps >0 arbitrariamente escolhido. Como f_n -> f uniformemente, o Critério de Cauchy implica a existência de um k tal que n >= k => |f_n - f_k| < eps => |f_n| < |f_k| + eps, do que deduzimos que a cauda de ordem k de (f_n) é dominada pela função |f_k| + eps. Como f_k é integrável, |f_k| também é. E como m(X) < oo, segue-se que Int (|f_k| + eps) dm = Int|f_k| dm + eps m(X) < oo. Logo, |f_k| + eps é integrável. Como a cauda de ordem k de (f_n) também converge para f, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue implica, então, que f seja integrável e que lim (n >= k) Int f_n dm = Int f dm. No membro da esquerda temos a cauda de odem k de (Int f_n dm). Como esta cauda converge para Int f dm, a seqüência toda converge para o mesmo limite, tendo-s portanto que

lim Int f_n dm = Int f dm, como desejado.

Vamos agora mostar que a condição m(X) < oo é mesmo essencial. Para isto, faça X = [0, oo), M a sigma-álgebra de Lebesgue e m a medida de Lebesgue. Então, m(X) = oo. Defina

f_n(x) = c_n(x)/n, sendo c a função característica de [0, n]. Então, dado eps >0, se fizermos k =1/eps, para todo n >k temos que

se x está em [0, n], então f_n(x) = 1/n < 1/k < eps,
se x >n, então f_n(x) = 0 < eps, do que concluimos que f_n -> 0 uniformente em [0, oo). Assim, f = 0 e Int f dm = 0.

Mas, para cada m, Int f_n dm = 1/n * n = 1 e, portanto,

lim Int f_n dm = 1 >0 = Int f dm, o que nos mostra que a condição de que m(X) < oo é de fato essencial para o teorema.

No exemplo acima, é facil ver que, se g domina f_n, então temos que Int g dm >= 1 + 1/2 +1/3......= oo, de modo que nenhuma função que domine (f_n) é integrável. Assim, o teorema da convergência dominada, que foi utilizado na prova para o caso m(X) < oo, não é aplicável.

ADICIONANDO:

Bom, ainda que não venha nenhuma outra resposta, vou acrescentar uma outra prova, também interessante, desta vez passando por cima dos detalhes óbvios para quem estuda teoria de medidas:

f é mensurável (limite de uma seqüência de funções mensuráveis) Dado eps >0, existe k tal que n>k => |f_n - f| < eps (1). Escolhendo-se um n >=k, temos que |f| <= |f_n| + eps, do que deduzimos, pelo fato de f_k ser integrável e de que m(X) = k temos, de (1), que

|Int(f_n - f_ dm| = |Int f_n dm - Int f dm| <= Int|f_n - f| du < Int eps dm = eps m(X). Como eps é arbitrário e m(X)
lim Int f_n dm - Int f dm = 0 => lim Int f_n dm = Int f dm