Calcule as integrais abaixo, preparando o integrado convenientemente com o auxilio das relações trigonometrica

Question

a) / sen²(x) cos^4(x) dx;
b) / tg^4(x) dx;
c) / sen³(1 - 2teta) con³(1 -2teta) dteta
d) / cossec^4(3 - 2x) dx.

Answer 1

(a) É pelo caminho que a Vap fez, mas parece que ela se perdeu um pouco.Mas a idéia acho que é essa mesma. Dá um bom trabalho algébrico, me excuso de fazer.

(b) tg^4(x) = (1-sec^2(x)) tan^2(x) = tan^2(x) - tan^2 sec^2(x) = sec^2(x) - 1 - tan^2 sec^2(x) Considerando as integrais básicas da trigonometria, que suponho que vc conheça, a integral da expressão de cima é, então,

tan(x) - x - tan^3(x)/3 + C

(c) Observe que sen^2(x) cos^2(x) = (1/4) sen^(2x) e que
Int sen^2(u) du = 1/2[ u - 1/2 sen(2u)} + C. Agota, é so fazer u = 1 -2teta e algebricar um pouco. Você faz, dei a idéia

(d) cossec^4(u) = (1 + cotg^2(u))cossec^2(u) = cossec^2(u) + cotg^2(u) cossec^2(u). A derivada da cotg(u) á - cossec^2(u), de modo que temos algo similar à letra (b). Faça uma mudança de variável.

Answer 2

a)

sen² x + cos² x = 1 -> cos²x = 1-sen²x

cos 2x = cos² x - sen²x
cos 2x = (1-sen²x) - sen²x
cos 2x = 1 - 2sen²x
sen²x = (1 - cos 2x)/2 (1)

sen² x + cos² x = 1 -> sen²x = 1-cos²x

cos 2x = cos² x - sen²x
cos 2x = cos²x - (1-cos²x)
cos 2x = 2cos²x - 1
cos²x = (1 + cos 2x)/2 (2)


Assim, de (1) e (2), temos:
∫sen²(x) cos^4(x) dx =
∫(1 - cos²x) cos^4 x dx =
∫(1 - ((1 + cos 2x)/2) ) ((1 + cos 2x)/2)² dx =
∫((2 -1 - cos 2x)/2) ) ((1 + cos 2x)²/4) dx =
∫((1 - cos 2x)/2) ) ((1 + cos 2x)²/4) dx =
1/8∫(1 - cos 2x) (1 + cos 2x)² dx =
1/8∫(1 - cos 2x) (1 + cos 2x) (1 + cos 2x) dx =
1/8∫(1 - cos² 2x) (1 + cos 2x) dx =
1/8∫(1 + cos2x - cos²2x - cos³ 2x) dx =