considere as séries as abaixo:?

Question

a) E (-1)^n 2^n/n!

b) E sen(1/n ln(n))
c) E (-1)^n n^2/n³ + 2
d) E (-1)^n (2n)!/3^n
E=sinal de somatorio, n maior igual a 1.
Estas series são convergentes ou divergentes.

Answer 1

Parece-me que o ítem (b) não foi abordado nas respostas dadas até agora.



Temos E sen(1/n ln(n)) = E sen(ln(n)/n). Quando n -->oo, ln(n) --> 0 e, portanto, [sin(ln(n)/n)]/[ln(n)/n] -->1 > 0. Além disto, temos para todo n >=2 que ln(n)/n >0, o que implica que, para n suficientemente grande, temos sen(ln(n)/n) > 0 (esta função torna-se monotonicamente decrescente)

Pelo teste da comparação do limite, temos então que as séries E sen(1/n ln(n)) e E ln(n)/n são ambas convergentes ou ambas divergentes. Para todo n >=3, ln(n) > n, de modo que ln(n)/n > 1/n. Como a série harmônica diverge, E ln(n)/n diverge.

Logo, E sen(1/n ln(n)) diverge. vai para infinito

Answer 2

a) S (-1)^n 2^n/n!

S = - 2 + 2 - 2^1/2 + 2^1/6 - 2^1/24 + . . .

S = - 2^1/2 + 2^1/6 - 2^1/24 + 2^1/120 - . . .

parece que converge p/ - x?

poste em

www.somatemática.com.br

em ensino superior

pois é assunto de Cálculo 1

abraços

Answer 3

Hola.

Creio que temos um fórum do ensino superior. Use-o.

Answer 4

somatório de (-1)^n an, onde an>= 0 é uma série alternada.
Note (-1)^n 2^n/n! é uma série alternada, onde an = 2^n/n!.

O teste de Leibniz diz que uma série alternada converge se:
an+1<=an
an tende a zero quando n tende a infinito.

n = 2 => 2² /2! = 4/2 = 2
n = 3 => 2³/3! = 8/6 = 4/3
n = 4 => 2^4 / 4! = 16/24

Note que an+1<=an
Além disso, qto maior n meias próximo de zero an vai se tornando.

Logo a série satisfaz os critérios de Leibniz e é convergente.

c) E (-1)^n n^2/n³ + 2
d) E (-1)^n (2n)!/3^n

As letras c e d é só vc usar novamente o teste de Leibniz para an = n² / n³+2 e an = (2n)!/3^n

Note na letra c que n³ cresce muito mais rápido que n², logo qto maior n mais próximo de zero torna-se n²/(n³+2). Além disso, an é menor ou igual a an+1; portanto a série tb converge.

Já na letra d repare que (2n)! cresce muito mais rápido que 3^n, portanto qto maior n, maior an; além disso an não é maior ou igual a an+1, por exemplo para n =2 temos: (2n)!/3^n = 4!/3² = 24/9 = 2,7
e para n = 3, temos:
(2n)!/3^n = 6!/3³ = 720/27 = 26,7

Logo esta série é divergente.

Já a letra b , repare que ln n cresce muito mais devagar que n , assim , quanto maior n mais próximo de 0 an. Assim, a série é convergente.


Kisses

=**