Hipotese de indução?

Question

Demostre que para todo n>=3,mostre que (n+1)elevado a n < n elevado a n+1

A demostração dev ser através da formula k+1.

Answer 1

Bom, eu tenho uma prova que não é bem por indução mas funciona.

Para todo n >=1, temos que [(n+1)^n]/[n^(n +1)] = [(n+1)^n]/[n * n^n] = (1/n) [(n+1)/n]^n = (1/n) (1 + 1/n)^n. (1)

Sabemos que (1 + 1/n)^n é uma seqüencia estritamente crescente que converge para o número e, o número de Euler e =~ 2,71828....< 3. Assim, para todo n>=1 temos que (1 + 1/n)^n < e < 3. Considerando-se (1), para todo n >=1 temos então que

[(n+1)^n]/[n^(n +1)] = (1/n) (1 + 1/n)^n < e/n < 3/n. Assim, para n>=3, temos que [(n+1)^n]/[n^(n +1)] < 3/3 = 1, ou seja,

(n+1)^n < n^(n +1)

Na realidade, esta desigualdadae não se resume a valores inteiros de n. Para to real x >=3, temos que (x +1)^x < x ^(x +1)

Editando: Embora eu ache isto absolutamente sem sentido, se você quiser pode modificar o argumento para adaptá-lo à indução.

Para n =3, (n+1) ^n = 4^3 = 64
e n^(n+1) = 3^4 = 81, de modo que a desigualdadae é válida.

Suponhamos que seja válida para algum natural n >=3. Como vimos, para todo natural n temos que [(n+1)^n]/[n^(n +1)] = (1/n) (1 + 1/n)^n < e/n <1. Logo, [(n+2)^(n+1)]/[(n+1)^(n +2)] < e/(n+1) < e/n < 1, de modo que (n+2)^(n+1) < n+2)^(n +1) > Isto completa a indução e prova a desigualdade para n >=3.

Mas não faz sentido complicar inutilmente uma prova.

Answer 2

Indução eu só conheço mesmo na área de telecom.
Que é quando o cliente diz que o tel esta com a linha cruzada...KkKkKkK