URGENTE. Preciso resolver um problema de Aplicações Derivadas.?

Question

"Em geral as panelas de alumínio existentes no comércio têm formato cilíndrico (sem tampa) com uma altura 'h'igual ao raio da base 'r'. Mostre que, para uma panela de volume 'v', o menor consumo de material é obtido quando h = r?

Answer 1

O consumo de material é mínimo quando a área total da superfície da panela for mínima. Em um cilindro reto de altura h e raio r, a área total é dada pela soma da área lateral com a área das 2 bases. A área lateral é dada por 2pi r h e a área da base é dada por pi r^2, de modo que a área total é

A = 2pi rh + pi r^2 = pi( 2rh + r^2) (sem considerar a tampa)

O volume é dado por V = pi r^2 h. Mantendo-se V fixo, temos que

h = V/(pi r^2). Substituindo-se na equação de A, obtemos

A = pi(2r * V/(pi r^2) + r^2)= pi (2V/(pi r) + r^2), para r >0.

Temos então que

dA/dr = pi (-2V/(pi/r^2) + 2r). Temos dA/dr = 0 se

-2V/(pi/r^2) + 2r = 0 => r = V/(pi/r^2) => r^3 = V/pi => r = (V/(pi))^(1/3). Temos ainda que

d^2A/dr^2 = pi(4V/(pi r^3) + 2) que é sempre positiva para r >0. Logo, A é convexa como função de r, apresentando um mínimo global em r = (V/(pi))^(1/3). Como h = V/(pi r^2), temos para este valor de r que

h = V/ pi * (pi/V)^(2/3) = (V^3/pi^3 * pi^2/V^2)^1/3 = (V/pi)^(1/3) = r

Assim, temos que h = r para minimizar o consumo de material.