Tendo uma matriz de transformação linear, como saber se ela é diagonalizável?

Question

Tendo a matriz
A = |1 1|
|2 2|
e o polinômio característico de A = t.(t-3), com duas raízes distintas (0 e 3), como posso saber se a matriz é diagonalizável ou não?
Valeu!

Answer 1

Uma matriz quadrada de ordem n é diagonalizável se, e somente se, possuir n autovetores linearmente independentes. Ou seja, se, e somente se, a matriz composta por autovetores correspondentes a diferentes autovalores tiver posto n .Se 0 vetor coluna x= [x1, x2] é autovetor correspondente ao autovalor 0, então A x = 0 x = 0e temos que

x1 + x2 = 0 de modo que x é da forma [-x1 , x1].

Se y = [y1, y2] é autovetor correspondente ao autovalor 3, então

y1 + y2 = 3y1 => y2 = 2y1
2y1 + 2y2 = 3y2 => y2 = 2y1, de modo que y é da forma [y1, 2y1].

Se fizermos x1 = 1 e y1 = 1, a matriz dos autovetores é P =

-1 1
1 2
a qual tem determinante -2 - 1 = - 3<>0, não singular. Logo, A é diagonalizável A matriz diagonal D similar a A tem como elementos da diagonal principal os autovalores de A, ou seja, D=
0 0
0 3

Temos ainda que D = P^(-1) A P

Answer 2

oooooooootima pergunta! qd souber me avisa