As progressões aritméticas 5,8,11... e 3,7,11... têm 100 termos cada uma. O nº de termos iguais nas 2 é:?

Question

a) 15
b) 25
c) 1
d) 38
e) 42

A resposta correta é letra b, mas gostaria que alguém pudesse me explicar o porquê. Obrigada, abraços.

Eu sei que se eu fosse completando ambas as PAs eu acharia os 25 termos iguais, porém sei que não é assim que o exercício pede que eu faça, como posso resolver então?

Answer 1

Vamos continuar mais um pouco as progressões:

5,8,11, 14, 17,20, 23,.. (1)
3,7,11, 15, 19, 23, ... (2)
O primeiro termo que elas tem em comum é o 11.

E os termos que se repetem nas duas formam a seguinte PA:

11, 23.... (3)

a1 = 11, r = 12

Falta encontrar agora o número de termos dessa PA.

Calculando os últimos termos das duas primeiras PA, temos:

an = a1 + (n-1)r
a100 = 5 + 99*3
a100 = 5 + 297
a100 = 302

an = a1 + (n-1)r
a100 = 3 + 99*4
a100 = 3 + 396
a100 = 399

Assim, o último termo que se repete nas duas PA´s é NO MÁXIMO, 302. (Afinal os números maiores que 302 não estão na PA (1) ).

Fazendo an = 302 na PA (3), temos:

an = a1+(n-1)r
302 = 11+(n-1)*12
302 = 11 +12 n - 12
302 = 12n - 1
303 = 12 n
n = 25,25

Como n deve ser o maior inteiro menor que 25,25, significa que temos n=25 termos na PA 11,23, ..., ou seja, 25 números que se repetem nas PA´s (1) e (2).

Os números que se repetem nas duas PA´s são:

a25 = a1+24r
a25 = 11+ 24*12
a25 = 11 + 288
a25 = 299


11, 23, ..., 299

Kisses

=**

Answer 2

Sejam a_n a primeira progressão e b_m a segunda. Então, a_n tem termo inicial 5 e razão 3 e b_m tem termo inicial 3 e razão 4. Os termos gerais destas progressões são, portanto,

a_n = 5 + (n-1)3 = 3n + 2, n=1,2,3.......
b_m = 3 +(m-1)4 = 4m -1, m=1,2,3....

Teremos a_n = b_m sempre que

3n + 2 = 4m -1, ou seja,
4m - 3n = 3, ou m = 3(n+1)/4

Logo, termos a_n = b_m sempre que 3(n+1)/4 for inteiro, para n em {1,2,3......100}. Isto ocorre se, e somente se, n +1 for multiplo de 4, ou seja se tivermos

n + 1 = 4k para algum inteiro positivo k. Assim, a igualdade desejada ocorre para os valores de n tais que

n = 4k -1, com k =1,2,3.... e n <=100. O maior valor que k pode assumir é, portanto, o maior inteiro tal que

4k -1 <=100 => 4k < 101 => k <= 101/4 => k = 25.

Logo, temos 25 valores de k que ocasionam a_n = b_m

Os valores de n e m na igualdade são, portanto, dados por

n = 4k -1
m = 3(n+1)/4 = (3* 4k)/4 = 3k
k =1,2,3.....25

E os termos que se igualam são dados por

a_n = b_m = 3n +2 = 3(4k -1) + 2 = 12k -1, k=1,2,3..25, que estão em PA de razão 3 e termo inicial 11, ou seja

11, 23, 35,.....299

resposta é, de fato, a letra (b)

Answer 3

olá tudo bem?

1º vc acha o ultimo termo de cada uma

An = A1 + ( n - 1) . r
An = 3 + (100-1) .3
An = 3 +99.3
An= 302

Bn = B1 + ( n -1).r
Bn = 3 + (100-1).4
Bn = 396

Como a razão na primeira é 3 e na segunda é 4 faça o m.m.c (3,4) = 12

agora ficou fácil o 1º termo que repete é o 11, depois vc precisa encontrar o ultimo termo no caso pega a menor P.A que o ultimo termo é 302 pois repetirá só até ai, e ver se divisivel por 12, pois a sequencia é de 12 como não é o mais proximo é 300.

300:12 = 25 termos que que são iguais

espero ter ajudado