Progressão aritmética e geométrica.?

Question

Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométricaem 2. Então, o terceiro termo das progressões é?

a) 10
b)12
c)14
d)16
e)18

Answer 1

PA = {4, (a + 2), b...}

PG = {4, a, b...}

De acordo com as Propriedades das PA's e PG's:

- Um Termo é igual a Média Aritmética entre seu antecessor e seu sucessor:

(a + 2) = (4 + b) / 2

- Um Termo é igual a Média Geométrica entre seu antecessor e seu sucessor:

a = √ (4 x b)

Relacionando as equações:

(a + 2) = (4 + b) / 2
a = {(4 + b) / 2} - 2
a = {(4 + b) / 2} - (4 / 2)
a = (4 + b - 4) / 2
a = b / 2


a = √ (4 x b)
a² = {√ (4 x b)}²
a² = 4 x b
(b / 2)² = 4 x b
b² / 4 = 4 x b
b² = 16 x b
b = 16

Alternativa (D).

Answer 2

Seja 4, 4+r, 4+2.r, a PA de razão r.

Seja 4, 4.q, 4.q², a PG de razão q.

Pelos dados do problema:

4+r=4.q+2.....eq(1)

4+2.r=4.q².....eq(2)

subtraindo-se o dobro da eq(1) da eq(2), temos:

.4+2.r=4.q²
-8-2.r=.......-8.q-4
-------------------
-4.../..=4.q²-8.q-4

4.q²=8.q

q=2

tirando o valor de r na eq(1), temos:

r=4.2+2-4=6

Portanto os termos da PA são:

4,10,16

e da PG, são:

4, 8, 16

resposta.....d) 16

Answer 3

Sejam 4, x, a os termos da PA e 4, y , a os termos da PG. Então,

2x = 4 + a e
y^2 = 4a

Como x = y +2, substituindo na 1a equação, obtemos

2y + 4 = 4 + a => a = 2y. Substituindo na 2a equação,

y^2 = 8y, de modo que y = 0 ou y = 8. Mas y = 0 ocasionaria razão da PG nula e terceiro termo nulo, contra as hipóteses. Assim, y = 8 e a = 16. Como a é o terceiro termo da PA e da PG, a resposta é (d).

Answer 4

Lucianinha
a resposta do Will ta certinha
soh achei um pouco complicada, vou tentar de um jeito mais facil
vou relacionar os termos da Pa e da Pg
PA = { 4 , (4 + a), (4 + 2a), ...}
PG = { 4 , 4b , 4b^2 , ...}
vc disse q seus terceiros termos coincidem ou seja
4b^2 = 4 + 2a
e que o segundo termo da Pa excede em 2 o segundo termo da PG, ou seja
4b + 2 = 4 + a
acertando os termos das equacoes, da pra montar o seguinte sistema
4b^2 - 2a = 4
4b - a = 2
Multiplicando a segunda linha por menos 2 e depois somando as duas equacoes
4b^2 - 2a = 4
- 8b + 2a = -4
--------------------
4b^2 - 8b = 0
Resolvendo essa equacao temos
b = 0 ou b = 2
Como o terceiro membro da Pg tem q ser estritamente positivo entao devemos pegar b = 2, pq se b=0, entao 4b^2 = 0
e com b = 2, temos q 4b^2 = 16
que eh o terceiro termo
se quiser confirmar, pode calcular o valor de a, substituindo b por 2 em uma das equacoes do sistema
vai achar a = 6
e o terceiro termo 4 + 2a = 16

espero ter ajudado
bjs