Considere um polinômio não nulo p(x)tal que (p (x))³ =x²p(x) = xp(x²) para todo x real.?

Question

a)Qual é o grau de p(x)?
b)Determine p(x).

Answer 1

Seja n o grau de p. Então,

(p(x)^3 tem grau 3n
x^2 p(x) tem grau n +2 e
x p(x^2) tem grau 2n + 1 (pois p(x^2) tem grau 2n.

Temos 2 equações com só uma incógnita.

3n = n +2 +> n =1.

E observamos que, para n =1, n +2 = 3 e 2n + 1 = 3, de modo que o problema faz sentido. O polinômio tem grau 1, respondendo à letra (a).

(b) Temos que p(x) = ax + b, sendo a<>0 e b os coeficientes.

Fazendo x = 0, obtemos p(x)^3 = p(0)^3 = b^3 e
x^2p(x) = 0, de modo que b^3 = 0 e b = 0. Logo, p(x) = ax

Fazendo x =1, obtemos p(1)^3 = a^3 e x^2 p(x) =1 p(1) = a. Logo, a^3 = a, do que se segue que a = 0 ou a =1. Mas como o polinômio é do 1 grau, temos a<>0, de modo que a =1. Assim, p(x) = x.

E verificamos imediatamente que, de fato, p (x))³ =x²p(x) = xp(x²) = x^3.

Answer 2

a) grau P(x) = n
grau [p(x)]^3 = 3n --> 3n=2+n --> 2n=2 --> n=1

b) P(x) = Ax+B

[P(x)]^3 = x^2 · P(x) --> P(x) · [ (P(x))^2 - x^2] =0 para todo x

--> P(x) = x

Saludos.

Answer 3

Não sei responder, mas torço pra que você descubra a resposta.