Achar a funçao a partir das derivadas parciais?

Question

Achar a funçao f(x,y) que tem :
Derivada parcial em relação a x : 3x^2y^2 – 6y

Derivada parcial em relação a y : 2x^3y – 6x +( y/y^2+1)

Poderia colocar a resoluçao ? só falta esse exercicio !

Answer 1

Integrando df/dx com relação a x, concluímos que f(x,y) = x^3 y^2 - 6xy + g(y), sendo g uma função de y. Derivando agora f com relação a y, obtemos
df/dy = 2x^3 y - 6x + g'(y).

Comparando com a expressão dada para df/dy, devemos ter

g'(y) = y/(y^2+1)

Integrando, temos que

g(y) = (1/2) ln(y^2+1) + C, C uma constante. Assim,

f(x,y) = x^3 y^2 - 6xy +
(1/2) ln(y^2+1) + C