Álgebra Linear x Sistema Lineares x Matrizes : Quanto a Classificação dos Sistemas Lineares, podemos garantir

Question

Quanto a Classificação dos Sistemas Lineares, podemos garantir que a única afirmativa verdadeira é:
a) O Sistema Linear Possível e Determinado admite várias soluções.
b) O Sistema Linear Homogêneo é sempre possível.
c) O Sistema Linear Indeterminado não admite solução.
d) O Sistema Linear Impossível admite uma única solução

Em, 26 de setembro de 2007, seria possível você dar uma resposta rica para nutrir de conhecimento todos nós aprendizes.

Answer 1

a) Não. Um sistema linear possível e determinado admite, conforme o nome sugere, uma, e somente uma, solução.

b) Conforme mencionei em outra pergunta, dizemos que um sistema de equações lineares é homogêneo se as constantes do segundo membro forem todas nulas. Ou seja, se o sistema for do tipo

A x = 0

sendo A uma matriz constante, x o vetor com as variáveis a determinar (incógnitas) e 0 o vetor nulo de dimensão igual à de x. Algo como

x + y = 0
2x + 7y = 0

Verificamos imediatamente que, se fizermos todas as variáveis iguais a zero, então o sistema é trivialmente atendido. Por isso, esta solução é, na Álgebra Linear, denominada justamente de solução trivial. Dependendo do determinante das matiz do sistema, este poderá ou não admitir soluções outras que não a trivial. Mas a trivial é sempre admitida. Logo, um sistema homogêneo é SEMPRE possível.

c) Não. Sistemas lineares indeterminados admitem mais de uma solução. Na realidade, infinitas soluções.

d). Não. Sistemas impossíveis não admitem nenhuma solução.

Apenas a afirmativa (b) é verdadeira.