Desafio: Calcule o Baricentro do Sistema Solar?

Question

Cesar G perguntou há alguns dias:
http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AkcIYF28XkDzLZtgHdKjzLfI6gt.;_ylv=3?qid=20070917062354AA4vcTl&show=7#profile-info-2124ef00fcbd1c493aa4df1666d98d51aa

O desafio é o seguinte:

Calcule o baricentro para o sistema SOL - JÚPITER - SATURNO que respondem por mais de 90% da massa do sistema solar em duas situações:

1) Valor máximo: Saturno e Júpiter alinhados do mesmo lado.
2) Valor minimo: Saturno e Júpiter em lados opostos.

Uma vez que você sabe resolver o problema para 3 corpos estenda a solução para o Sol e os 4 planetas gigantes gasosos.

3) Todos os planetas alinhados de um lado
4) Júpiter de um lado e os demais planetas gasosos do outro.

As respostas são numéricas, por favor.

O baricentro muda de posição continuamente, mas não é isso que estou perguntando.

O problema proposto acima visa o cálculo baseado em situações hipotéticas específicas.

Answer 1

Segundo o Halliday & Resnick, para um conjunto de massas puntiformes qualquer, as coordenadas (x,y) do Centro de Massa podem ser calculadas com as equações:

x = ∑(m × x) / ∑ (m)

y = ∑(m × y) / ∑ (m)

No nosso caso, temos apenas três massas, as mesmas estarão alinhadas (então y=0), e, para nossa conveniência, vamos colocar o Sol na origem do sistema. Agora, resta colocar o problema em unidades convenientes para nós.

m(Sol) = mS = 1
m(Júpiter) = mJ = 0,000954638698
m(Saturno) = mSat = 0,000285838546
x(Sol) = 0 (zero)
x(Júpiter) = xJ = 5,203 UA
x(Saturno) = xSat = 9,539 UA

x = (xJ × mJ + xSat × mSat) / (xS + xJ + xSat)

x = (0,000954638698 × 5,203 + 0,000285838546 × 9,539) / (1 + 0,000954638698 + 0,000285838546)

x = 0,00768406713 UA
x = 1.149.521,07 quilometros

O raio do Sol é, segundo o Google, 695.500 quilometros, então o baricentro do sistema Sol-Júpiter-Saturno, com Júpiter e Saturno alinhados do mesmo lado, está a 1,65279809 raios do Sol de distância do centro do Sol. Ou seja, a 65% do raio do Sol de sua superfície. É bem pertinho...

Caso Saturno esteja de um lado, e Júpiter de outro, e assumindo o centro do Sol como estando na origem do sistema de coordenadas, usamos a mesma equação de antes, só trocamos o sinal da distância de Saturno:

x = (xJ × mJ - xSat × mSat) / (xS + xJ + xSat)

x = (0,000954638698 × 5,203 - 0,000285838546 × 9,539) / (1 + 0,000954638698 + 0,000285838546)

x = 0,00223759557 UA
x = 334.739,822 quilometros

Vemos que com Saturno do outro lado, o baricentro continua para o lado de Júpiter, mas já mergulhou dentro do Sol. Este valor corresponde a 48 % do raio do Sol.

Answer 2

Como os planetas estão em constante movimento o baricentro do sistema estará sempre oscilando em torno do Sol, mas raramente estará "dentro" dele, e NUNCA, nunca coincidirá com o seu centro.
Veja no nosso site: Massas girantes
http://observatoriophoenix.astrodatabase.net/k_ensaios/24_k08.htm

Answer 3

A massa do Sol e' 1000 maior que a massa de todos os outros planetas somados. Não faz diferença onde eles estiverem, o baricentro será o Sol.