ITA-2000 ajuda ai?

Question

Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condominio. Cada trabalho será atribuido a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas.De quantas maneiras distintas podem ser distribuidos os trabalhos?

R = 36

Eu n estou conseguindo chegar a este resultado, por favor faça detalhadamente para min entender como chegar ao resultado,
Grato.

Answer 1

3 empresas: A B C

Se todas as empresas devem ser contratadas, e há 3 empresas para 4 trabalhos, terá que repetir uma.

Repetindo a empresa A:
A A _ _ : o terceiro trabalho pode ser feito por 2 (B ou C), e, como não pode repetir mais, o quarto só pode ser feito por 1 (se o terceiro for B, não pode ser B de novo, só poderá ser C; o mesmo se o segundo for C) => AABC e AACB => 2 * 1
A _ A _ : 2 * 1
A _ _ A : 2 * 1
_ A A _ : 2 * 1
_ A _ A : 2 * 1
_ _ A A : 2 * 1

No total, são 6 combinações, cada uma com 2 possibilidades; 6 * 2 = 12. Como há 3 empresas, fazemos isso com as 3, então obtemos 3 * 12 = 36. Isso porque a que repetirá pode ser qualquer uma das 3.

Mas, mostrando outro raciocínio: Isso também é um arranjo de 4 tomado 2 a 2, ou seja, um agrupamento de 2 elementos dentre 4 em que a ordem é importante; isso porque AABC != AACB, mesmo porque todos possuem os mesmos elementos, e o que muda é apenas a ordem deles.
Então, pela fórmula do arranjo: A(n,p) = n!/(n-p)! =>
A(4,2) = 4!/(4-2)! = 4*3*2! / 2! = 4*3 = 12

Porém, como temos 3 empresas, são 3 arranjos destes: 3*A(4,2) = 3*12 = 36

Esse site ajuda a esclarecer um pouco:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/combinat/combinat.htm
Mas análise combinatória é uma coisa difícil de entender como funciona, então eu aconselho que você procure fontes que realmente possam lhe explicar e exemplificar o raciocínio, a teoria por trás disso tudo, e não apenas as fórmulas. Espero que tenha ajudado, pelo menos na parte em que mostrei todas as possibilidades com a empresa A.

Answer 2

como eu gosto de resolver
__ __ __ tenho 4 empr. para tres vagas e uma posso repetir

4 __ __ na 1ª vaga tenho 4 possibilidades

4 3 _ p/ 2ª vaga tenho 3 possibilidades pois umaa já gastei

4 x 3 x 3 na 3ª vaga tenho 3 possibilidade pois tinha 2 + uma repetição de alguma empresa

4 x 3x 3 = 36


e eu 10 possibilidades/

Answer 3

O que temos que fazer é o seguinte: determinar o número de funções que podemos formar, definida no conjunto dos trabalhos, {T1, T2, T3, T4}, com valores no conjunto das empresas, {E1, E2, E3}, de modo que apenas 1 empresa seja chamada 2 vezes e todas sejam chamadas. Como temos 4 trabalhos e só 3 empresas, uma delas terá necessariamente que realizar 2 trabalhos.

Temos C(3,1) = 3 maneiras distintas de escolher a empresa a realizar 2 trabalhos

Escolhida esta empresa, precisamos escolher os 2 trabalhos a serem à mesma alocados. Como há um total de 4 trabalhos, temos o total de C(4,2) = (4*3)/2 = 6 possibilidades. Assim, temos 3 *6 = 18 maneiras distintas de escolher empresas com 2 trabalhos e de, a elas, atribuir 2 dentre os 4 trabalhos disponíveis.

Para cada uma das 18 escolhas feitas acima, temos que completar a função, atribuindo os outros 2 trabalhos às duas outras empresas restantes, como exemplificado no quadro abaixo:

T1 - E1
T2 - E1
T3 - E2
T4 - E3

Neste exemplo, escolhemos E1 para fazer os trabalhos T1 e T2, e alocamos T3 a E2 e T4 a E3. Mas também poderíamos ter alocado E3 a T3 e E2 a T4. Assim, cada uma das escolhas do item anterior origina 2! = 2 outras escolhas.

No total, temos então 18 * 2 = 36 maneiras distintas de se distribuir o trabalho conforme o critério dado.