Corpo deslizando sobre uma esfera, podem ajudar?

Question

Uma esfera de raio r está em repouso sobre o solo. No topo da esfera há um corpo que começa a deslizar para a direita, admitindo-se que com velocidade inicial nula, sujeito apenas ao próprio peso e à reação da esfera. Determine
a) A altura com relação ao solo em que o corpo deixa a superfície esférica
b) A magnitude e o ângulo que o vetor velocidade faz com a vertical no momento do escape.
c) A magnitude e o ângulo que o vetor velocidade faz com a vertical no momento do choque do corpo com o solo.
d) A distância, com relação à vertical que passa pelo centro da esfera. do ponto em que o corpo toca o solo.

Despreze o atrito entre o corpo e asuperficie esférica, bem como a resistência do ar.

Obrigado pelo que for possível.

Answer 1

I will not do the entire problem, it is too late at night.

However, the most interesting part:

The particle slides from the polar position at the top. As it does so, it picks up kinetic energy from its loss of potential energy:
mv^2/2 = m*w^2 *R^2 /2 = mgR(1-cos(a)) , or:
w^2 = (2g/R)(1-cos(a))

[Note that w = da/dt = a']

Now, the particle will be able to stay to the circular path as long as the required centripetal force is provided by gravity. That means that:
mv^2/R = Fc is less than the radial component of the gravitational force = mg*cos(a). In other words, so long as:
mv^2/R < mg*cos(a)
=> w^2 < (g/R)*cos(a)

But this means:
(2g/R)*(1-cos(a)) = w^2 < (g/R)*cos(a)

2- 2*cos(a) < cos(a)
2 < 3*cos(a)
(2/3) < cos(a)

In other words, the particle will be able to stay on the sphere only so long as cos(a) > 2/3, or a < Arcos(2/3). After that, it will drop off.

This is really the heart of the problem. The speed of the particle is determined by conservation of energy as
v = sqrt(2*g*R/3), its direction will be tangential to the sphere at the angle a = Arcos(2/3). That gives the initial position and velocity; as usual, the horizontal velocity component will be unchanged, but the vertical velocity will be increased by gravitational acceleration.

Answer 2

Apenas completando a excelente resposta de Nealjking - que merece agradecimentos por ter se preocupado em traduzir do Português para o Inglês -, vemos que, no momento do escape, o corpo estará a uma altura h do solo dada por

h = r + r cos(teta) = r + 2/3 r = 5/3 r.

Daí em em diante, ele descreve um movimento de projétil, com os parâmetros determinados por Nealjking.