我有數學問題不會請幫幫忙.謝謝

Question

第1. 所有正整數之立方除以7之餘數可能為何?

第2. 設XεN，且√x^2 - 105εN，求x = ?

第3.設X=1+22+333+4444+55555+........+999999999，求除以9之餘數為何?


★不要只有答案喔☆[要有算式]
★尤其第3題.有啥比較快的方法嗎?☆

都沒人會喔

Answer 1

1. 設正整數 ｎ＝ 7ｍ＋ｒ，ｍ為 0或正整數、ｒ＝ 0、1、2、…、6
則 ｎ3 ＝ ( 7ｍ＋ｒ) 3 ＝ ( 7ｍ) 3＋3 ( 7ｍ) 2ｒ＋3 ( 7ｍ)ｒ2＋ｒ 3
＝ 7(49ｍ3 ＋ 21ｍ2ｒ＋ 3ｍｒ2 ) ＋ｒ 3
因為 ｒ3 可能為 0、1、8、27、64、125、216
所以 ｒ3 除以7之餘數可能為 0、1、6
故 ｎ3 除以7之餘數可能為 0、1、6
即 所有正整數之立方除以7之餘數可能為 0、1、6
2. 設 ｎ＝ √(ｘ2 －105) ∈ Ｎ，則 ｘ＞ 10且 ｘ∈ Ｎ
ｎ2 ＝ ｘ2 －105 ⇒ ｘ2 － ｎ2 ＝ 105
⇒ (ｘ＋ｎ)(ｘ －ｎ) ＝ 105．1 ＝ 35．3 ＝ 21．5 ＝ 15．7
⇒ ｘ ＝ 53、19、13、11
3. 9 的倍數 ⇔ 數字和為 9 的倍數
ｘ＝ 1＋22＋333＋4444＋55555＋666666＋7777777＋88888888＋999999999
＝ 1＋18＋4＋333＋4446 －2＋55557－2＋666666＋7777773＋4＋88888887＋1＋999999999
＝ (18＋333＋4446＋55557＋666666＋7777773＋88888887＋999999999) ＋ 6
＝ 9．ｘ＋ 6，ｘ∈ Ｎ
所以 ｘ除以9之餘數為 6
《 有問題再提出 我會在意見欄回答》

2007-09-13 00:13:37 補充：
2. 設 ｎ＝ √(ｘ² －105) ∈ Ｎ，則 ｘ＞ 10且 ｘ∈ Ｎ

2007-09-13 00:23:37 補充：
2. 設 ｎ＝ √(ｘ² －105) ∈ Ｎ，則 ｘ＞ 10且 ｘ∈ Ｎ

2007-09-13 12:02:25 補充：
第3題 如果你已學到了級數的公式 那小路大師的方法會較快
『所有數的數字和』除以 9 之餘數 即為 ｘ除以 9 之餘數

Answer 2

3. Σ(n=1~9) n^2

＝ n ( n ＋ 1 ) ( 2n ＋ 1 ) / 6

＝ 9 * 10 * 19 / 6

＝ 285

285 / 9

＝ 31.......6

餘數為 6

Answer 3

已經有人問過了