Podem me ajudar a mostrar que o projétil atinge o corpo?

Question

Um corpo é abandonado com velocidade inicial nula a uma altura h do solo. Neste exato momento, um projétil é disparado do solo contra o corpo, com velocidade inicial v_0. Mostre que, se v_0 for suficientemente grande, o projétil atinge o corpo antes do choque com o solo. Determine o menor valor de v_0 para que o projétil atinja o corpo.

Obrigada

Answer 1

O corpo realiza um movimento em queda livre a partir da altura h, sem velocidade inicial; o projétil descreve um movimento típico de projéteis, partindo com velocidade inicial v_0, a qual forma um ângulo a com a horizontal. Consideremos eixos ortogonais OX e OY, com a origem O no ponto de lançamento do projétil, o qual dista L da vertical descrita pelo corpo. Em função do tempo t, as coordenadas do projétil e do corpo são, então, dadas por:

Projétil
xp = v_0 cos(a) t
yp = v_0 sen(a) t - 1/2 g t^2, sendo g a aceleração da gravidade.

Corpo
xc = L (constante)
yc = h - 1/2 g t^2

Dado que, no instante inicial, o projétil está apontado para o corpo, temos que tan(a) = h/L.

O projétil e o corpo estarão na mesma cota em um instante t*, para o qual teremos

yp = yc => v_0 sen(a) t* - 1/2 g t*^2 = h - 1/2 g t^2 => v_0 sen(a) t* = h => t* = h/(v_0 sen(a)). Neste instante t*, a abcissa xp do projétil será de

xp = v_0 cos(a) t* = v_0 cos(a) h* 1/(v_0 sen(a) = h/(tan(a)) = h * L/h = L = xc . Assim, em um instante t* teremos xp = xc e yp = yc, provando que, se não houver limitação de altura (o projétil não atingir o solo antes do corpo), o projétil sempre atinge o corpo.

Considerando a limitação imposta pela altura h, a velocidade inicial do projétil deverá ser tal que lhe permite atingir o corpo antes de tocar o solo. Assim, no momento do choque com o corpo precisamos ter yp = yc >= 0. No instante t*, estas cotas são yc = h - 1/2 g t*^2. Logo, devemos ter t*^2 <= 2h/g. Tomando a expressão de t*, concluímos que h^2/(v_0 sen(a))^2 <= 2h/g => (v_0 sen(a))^2 >= h^2 * g/2h = gh/2. Logo, v_0 >= sec(a) * raiz(gh/2), sendo a = arc tan(h/L).

Temos que sec(a)^2 = 1 + tan(a)^2 = 1 + h^2 /L^2 = (L^2 + h^2)/L^2 => sec(a) = raiz(L^2 + h^2)/L. Logo, a velocidade inicial mínima é vmin = raiz(gh(L^2 + h^2)/2)/L