Plano de argand-gauss (FUVEST)?

Question

Desenvolvam a resposta:

Considere a equação Z^2 = xZ + (x − 1)(Z2) , onde x é um número real e (Z2) indica o conjugado do número complexo Z.

a) Determinar os valores de x para os quais a equação tem quatro raízes distintas.

Correta: x < 3/4 e x difertente de 1

Answer 1

Seja Z = a + bi. Então, Z2 = a - bi. Substituindo na equação, obtemos

(a+bi)² = x(a+bi) + (x − 1)(a-bi)
a² + 2ab i + (bi)² = ax + bx i + (x -1) (a - bi)
a² + 2ab i - b² = ax + bx i + (x -1) (a - bi)
a² + 2ab i - b² = ax + bx i + ax - bx i - a + bi
a² + 2ab i - b² - ax - bx i - ax + bx i + a - bi = 0
(a² - b² -2ax + a) + (2ab -b) i = 0
(a² - b² -2ax + a) + (2ab -b) i = 0 + 0i


Logo, devemos ter :
a² - b² -2ax + a = 0 (1)
2ab -b = 0 (2)

De (2):

2ab - b = 0
b (2a - 1) = 0
b = 0 ou 2a - 1 =0 => a =1/2

Fazendo b = 0 na 1ª equação, temos:
a² - b² -2ax + a = 0
a² - 0 -2ax + a = 0
a*(a -2x + 1) = 0
a = 0 ou a-2x+1 = 0 => a = 2x - 1

Assim, por enquanto temos dois casos: (b=0, a = 0) ; (b=0; a=2x-1)

Ma também podemos ter a =1/2. Fazendo a = 1/2 na 1ª equação, temos:
a² - b² -2ax + a = 0
(1/2)² - b² - 2*1/2*x + 1/2 = 0
(1/4) - x + 1/2 = b²
(1 +2)/4 - x = b²
b² = 3/4 - x
b =+ - V( 3/4 - x )

Note que novamente temos dois casos:
(a=1/2; b = V( 3/4 - x )); (a=1/2; b = -V( 3/4 - x ));

Assim, temos 4 casos (soluções) :
b=0, a = 0
b=0; a=2x-1
a=1/2; b = V( 3/4 - x )
a=1/2; b = -V( 3/4 - x )

Note que queremos 4 soluções diferentes, 2x - 1 não pode ser 0, pois repetiríamos a primeira solução. Logo 2x-1 <>0 => x<> 1/2

Note também que como b é real, temos que :

3/4 - x >0 => x < 3/4

Logo a resposta é x < 3/4 e x<> 1/2

E a resposta que você pôs ai não bate...

Kisses

=**

Answer 2

Seja Z = a + bi. Então, Z2 = a - bi. Substituindo na equação, obtemos

a^2 - b^2 + 2ab i = ax + bx i + (x -1) (a - bi)
a^2 - b^2 + 2ab i = ax + bx i + ax - bx i -a + bi
(a^2 - b^2 -2ax + a) + (2ab -b) i = 0

Assim, devemos ter
a^2 - b^2 -2ax + a = 0 e
2ab -b = 0

Da segunda equação, segue-se que
a = 1/2 ou b = 0

Se a =1/2, então, substituindo na primeira equação, obtemos

1/4 - b^2 -x + 1/2 = 0 => b^2 = 3/4 - x
Como b é real, precisamos ter 3/4 - x >= 0 => x < =3/4.

Se b = 0, então, substituindo na 1a equação, temos que
a^2 - a(2x -1), cujas raízes são a = 0 e a = 2x -1

Combinando os casos:

Se x < 3/4, temos as seguintes soluções:
a =1/2, b = raiz(3/4 - x)
a =1/2 b = - raiz(3/4 - x)
a = 0, b =0
a = 0, b = 2x -1
Como 3/4 - x >0, as 2 primeiras raízes são distintas entre si e distintas das 2 outras. As 2 últimas serão distintas se, e somente se, 2x -1 <>0 => x <>1/2
Assim, x<3/4 e x<>1/2 acarreta 4 raízes distintas.

x = 3/4 acarreta apenas 3 raízes distintas, pois, então, 3/4 - x = 0 e as raízes distintas são
a =1/2, b = 0
a = 0, b =0
a = 0, b = -1/4

E x > 3/4 não acarreta raízes com a =1/2, de modo que as 2 únicas raízes são
a = 0, b =0
a = 0, b = 2x -1

Logo, a resposta é x < 3/4 e x diferente de 1/2. Há um erro na resposta que foi dada.