有誰可以幫我解數學?

Question

第1. [1997]^1997 展開後之個數為何?

第2. 若aεz 且a^4+4為質數.求及此數為何?


謝謝各位拉

都沒人會媽?

Answer 1

第1題：
因為這一題問的是個位數，所以不用真的去算最後的值，
只要算個位數的變化，所以發現
7^1=7
7^2=49
7^3=343
7^4=2401
7^5=16807，所以個位數的循環為7,9,3,1
所以1997^1997的個位數為7

第2題：

a=1
1^4+4=5為質數

因為其它的都可以拆成(a^2+2*a+2)(a^2-2*a+2)

2007-09-11 21:25:54 補充：
所以 a= +1, -1

Answer 2

71＝7，72＝9，73＝3，74＝1，75＝7，…
1997／4＝餘 1
所以個位數是 7
a＝＋1，－1


2007-09-09 21:33:47 補充：
N＝1997^1997
個數＝1＋logN

2007-09-10 18:51:47 補充：
因為 a 是「整數」，所以包含「正整數」與「負整數」。

Answer 3

第1題是「二項式定理」的應用，作法不熟悉。所以，解第2題囉
第1題「展開的個數」是什麼意思? 數字有幾位? 還是個位數字?
(a^2)^2 + 2^2

= (a^2 + 2)^2 - 4a^2

= (a^2 + 2)^2 - (2a)^2

= (a^2 - 2a + 2) ( a^2 + 2a + 2)

(i)　a^2 - 2a + 2 = 1
=>　a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 = 0
=>　a = 1

(ii)　a^2 + 2a + 2 = 1
=>　a^2 + 2a + 1 = (x+1)^2 = 0
=>　a = -1

2007-09-11 20:40:14 補充：
"windazure" 和 "耗呆小綿羊" 的解答讓我有「我怎沒想到這一點」的感覺。原來有這道題目可由「次方的規律」來求解問題 - 個位數字。