Em física, qual a relação “espaço-tempo” na relatividade especial ou restrita no sistema de coordenadas?

Answer 1

Não sei se compreendi corretamente a pergunta, mas vamos lá.

Vamos pensar em termos da física não-relativística primeiro, usando um exemplo bolado pelo Einstein. O exemplo é unidimensional. Eu vou chamar de x coordenadas de posição e t o tempo.

Eu estou numa estação de trem, e você está num trem, com uma velocidade constante v (por exemplo, v = 60 km/h) em relação ao meu referencial na estação. Eu meço as posições x no meu referencial a partir da minha posição, de forma que a estação é x = 0. Você mede as suas posições x' a partir da sua posição no trem, de forma que x' = 0 sempre se refere à origem de seu referencial, ou seja, a sua posição no trem.

Também temos dois relógios que sincronizamos de tal forma que eles começaram a medir juntos no momento que o trem partiu da estação. O tempo que eu leio no meu relógio eu chamarei de t. O tempo do seu relógio, dentro do trem, chamarei de t'. Pela convenção que adotamos, x = 0 em t = 0 e x' = 0 em t' = 0.

Acompanhando? Agora recomendo que você faça uma figura do que vou escrever.

Vamos falar que no meu referencial na estação exploda um rojão na posição x, num instante t. Se você fizer a figura, verá que para você, no trem, a explosão ocorre numa posição

x' = x - vt

e num instante t' = t.

Concorda?

Tudo bem, essas equações acima relacionam a posição espacial e temporal de um evento no meu referencial com a posição espacial e temporal de um evento no seu referencial. Essas equações são conhecidas como transformação de Galileu.

O que a relatividade restrita conclui é que essas transformações estão erradas. Na relatividade restrita, a transformação correta é

x' = k(x - vt)
t' = k(t - (v/c) x)

onde k = 1/raiz(1 - v^2/c^2) e c é a velocidade da luz.

Essas equações são conhecidas como transformações de Lorentz. Note a diferença delas com a transformação de Galileu. O tempo do evento, no seu referencial, não é igual ao tempo no meu referencial; além disso, o tempo no seu referencial depende da posição do evento no meu referencial e da velocidade relativa entre nossos referenciais.

Mas note também que de uma certa maneira as transfomações de Lorentz contêm as transformações de Galileu. Pense assim, se v é muito menor que c, v/c e v^2/c^2 podem ser considerados na prática como zero. Então k é praticamente 1 e voltamos à transformação de Galileu. Como na vida diária é muito raro encontrarmos velocidades grandes da ordem da velocidade da luz, a transformação de Lorentz pode ser muito bem aproximada pela transformação de Galileu.

Answer 2

Em matemática , um sistema de coordenadas é um sistema para se especificar uma ênupla de escalares a cada ponto num espaço n-dimensional. O espaço no qual é sobreposto o sistema de coordenadas não necessariamente precisa ter definida uma métrica, tal como no caso do espaço riemmaniano no contexto da relatividade. Os "escalares" em muitos casos são números reais mas, dependendo do contexto, também podem ser números complexos ou membros de outro corpo qualquer. De forma mais geral, as coordenadas podem por vezes ser retiradas de anéis ou outras estruturas algébricas semelhantes.

Afim de que se especifique de forma não ambígua a posição de cada ponto neste espaço, é necessário que se defina uma origem e uma orientação.

Para que se atribua a cada ponto do espaço uma ênupla de números, é necessário que ao longo de cada curva coordenada se possa definir uma variedade, de tal forma que exista uma correspondência biunívoca entre a intersecção dessas variedades e um ponto. Assim, cada ênupla equivale a determinar a posição de cada variedade ao longo de cada curva coordenada.

Embora qualquer sistema de coordenadas específico seja útil para cálculos numéricos num espaço dado, considera-se que o próprio espaço existe independentemente de uma qualquer escolha de coordenadas.