Esta condição é suficiente para diferenciabilidade em R^n?

Question

Seja f uma função de R^n em R. Suponhamos que, das n derivadas parciais de f, n-1 existam em uma vizinhança de a e sejam contínuas em a e que a remanescente exista em a. Isto é uma condição suficiente para que f seja diferenciável em a?

Eu julgava que todas as derivdas parciais tinham que ser contínuas em a, mas me diseram que a condição acima é suficiente. É mesmo?

Obrigada

Answer 1

Sim. De fato, em diversos livros de análise o autor prova diferenciabilidade de f em a admitindo que todas as derivadas parciais são contínuas em a e existem em uma bola aberta (vizinhança) centrada em a. Mas, na realidade, a diferenciabilidade pode ser provada admitindo-se estas condição menos estrita que você citou. Ela é, sem dúvida, suficiente para a diferenciabilidade de f em a.

Interessante observar que, para n-1 das n derivadas parciais, exige-se continuidade em a e existência em uma bola aberta centrada em a, mas, para a remanescente, apenas se exige a EXISTÊNCIA em a. Nem sequer se exige sua existência em uma vizinhança de a, basta existir em a.

Acredito que até hoje esta condição não seja muito conhecida, por incrível que pareça. A prova que conheço está no livro de Tom Apostol, um grande autor, que cito abaixo. É feita "ziguezagueando" em R^n, paralelamente os eixos, aplicando repetidas vezes o teorema do valor médio do cálculo diferencial, caso unilateral. Uma prova muito bonita.

Curioso que nos livros de 2 outros grandes e famosos autores, Bartle e Rudin, a prova admite continuidade de todas as derivadas, embora isto não seja necessário.

Legal sua pergunta, espero que sirva para divulgar isso para outros que se dediquem a análise e ainda não conheçam este fato.

Em tempo: A condição citada é suficiente, mas, até onde sei, não é necessária.