Podem me ajudar a provar esta divisibilidade?

Question

Estou com dificuldades:

Mostre que, se a>=1 é inteiro e p >3 é primo, então a^p - a é divisível por 6p, se a for par, e por 12p, se a for ímpar.

Obrigado

Answer 1

Seja n = a^p - a. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que p|n.
É imediato que a e a^p tem a mesma paridade, de modo que n é par. Logo, 2|n. Como p >3 é primo, segue-se que 2p|n.
n pode ser escrito como n = a[a^(p-1) - 1]. Sendo p um número ímpar, p-1 é par e, portanto, p-1 = 2q para algum inteiro positvo q. Substituindo-se na expressão anterior e fatorando-se, temos

n = a [(a^q - 1) (a^q + 1)]

Se a for múltiplo de 3, então é imediato que 3|n. Se não for, então a^q também não é, o que implica que um, e somente um dos números a^q - 1 e a^q + 1 seja múltiplo de 3 (dentre 3 inteiros consecutivos, um, e somente um, é múltiplo de 3). Assim, em qualquer caso 3|n.

Como p >3 e 2p|n, segue-se que, em qualquer caso, 6p|n.

Se a for ímpar, então a^q -1 e a^q + 1 são ambos pares, de modo que 4|n. Como 3 e p>3 também dividem, então 12p|n.

Se a for múltiplo de 4, então também 12p|n. Mas se for par mas não múltiplo de 4, 6p divide mas 12p não divide.