Qual a dedução da formula V ao quadrado= Vo ao quadrado - 2gh?

Answer 1

Ela é deduzida a partir das fórmulas:

S = So + Vo x t + a x t² / 2

S = espaço final
So = espaço inicial
Vo = velocidade inicial
t = tempo
a = aceleração

V = Vo + a x t

V = velocidade final
Vo = velocidade inicial
a = aceleração
t = tempo

Isole (t) na segunda equação:

V = Vo + a x t
t = (V - Vo) / a

Use esse valor de (t) na primeira:

S = So + Vo x t + a x t² / 2
S = So + Vo x {(V - Vo) / a} + a x {(V - Vo) / a}² / 2
S - So = (Vo x V - Vo²) / a} + a / 2 x (V² - 2 x V x Vo + Vo²) / a²
∆S = (Vo x V - Vo²) / a} + (V² - 2 x V x Vo + Vo²) / 2a
2a x ∆S = (2 x Vo x V - 2 x Vo²) + (V² - 2 x V x Vo + Vo²)
2a x ∆S = 2 x V x Vo - 2 x Vo² + V² - 2 x V x Vo + Vo²
2a x ∆S = V² - 2 x Vo² + Vo²
2a x ∆S = V² - Vo²
V² = Vo² + 2 x a x ∆S

V = velocidade final
Vo = velocidade inicial
a = aceleração (que pode ser a aceleração da gravidade)
∆S = variação do espaço (que pode ser uma altura)

Answer 2

Esta é a conhecida equação de Torricelli, que dá a velocidade, em função da altura h a partir do solo, de um corpo que é lançado verticalmente para cima, sujeito apenas à ação de seu próprio peso (desprezada a resistência do ar).

Sendo m a massa do corpo, temos pelas Leis de Newton que f = ma, sendo f a força exercida sobre o corpo e a a sua aceleração, no caso no eixo vertical OY orientado positivamente para cima. Como o corpo apenas sofre a ação de seu peso, temos que

f = -P = -mg, sendo g a aceleração da gravidade. Sinal negativo porque o vetor peso é orientado para baixo.

Assim, -mg = -a e a = -g. Sabemos que a = dv/dt. sendo v a velocidade e t o tempo. Logo,

dv/dt = -g. Pela regra da cadeia, temos que
dv/dt = dv/dy dy/dt. Como dy/dt = v, a velocidade do corpo, temos que
dv/dt = dv/dy v = -g ou v dv = -g dy Integrando ambros os membros, o da esquerda de Vo (velocidade inicial) a V ( velocidade vigente) e o segundo de 0 a h (altura vigente), obtemos

(V^2)/2 - (Vo^2)/2 = - gh, ou

V^2) = (Vo^2) - 2gh, que é a famosa equação do físico italiano Torricelli.

De modo mais geral, o mesmo raciocínio mostra que, se um corpo parte de uma distâcia inicial xo em um dado referencial, com velocidade Vo, em movimento retilíneo uniformemente acelerado com aceleração constante a, então a sua velocidade em função da distância x ao referencial é dada por

V^2 =Vo^2 + 2 a (x - xo).

A equação de Torricelli é o caso particular em que a = -g e xo= 0. Na prática, dependendo da velocidade que se alcance e da forma do corpo, a resistência do ar não é desprezível, a equação de Torriceli não se aplica e, aí, temos um problema um pouco mais complicado.