sabendo que f(x +y) = f(x) . f(y) e que F(1/2) = 2 raiz de 2, calcule f(5/3)?

Question

favor estou com duvida!!!!!!!

Answer 1

Primeiro, vejamos alguns pontos:

f(0 + 0) = f(0) = f(0) * f(0) = f(0)^2 Logo, f(0) = 0 ou f(0) =1. Mas se f(0) = 0, então para todo real x temos que f(x +0) = f(x) = f(x) f(0) = f(x) * 0 = 0, o que contaria o fato de que f(1/2) = 2 raiz(2) > 0. Logo, temos necessariamente que f(0) =1.

Para todo real x, temos que f(x - x) = f(0) = 1 = f(x) +(-x)) = f(x) * f(-x). Logo, f nunca se anula e f(-x) = 1/f(x) para todo real x.

Por indução finita, vemos também facilmente que, para todo inteiro n >=0 e todo real x, f(n x) = (f(x)^n. Assim, para todo inteiro n >0, f(n * x/n) = f(x) = (f(x/n))^n, de modo que f(x/n) = (f(x))^(1/n).

Baseados nesta conclusões, temos que

f(5/3) = (f(5))^(1/3) e que f(1) = f(2 * 1/2) =f(1/2)^2 = (2raiz(2))^2 = 8.
f(5) = f(4 + 1) = f(4) f(1) = f(4 *1) f(1) = f(1)^4 * f(1) = f(1)^5 = 8^5

Assim, f(5/3) = (8^5)^(1/3) = 8^(5/3) = (2^3)^(5/3) = 2^5 = 32.

Esta função tem diversas características da função exponencial. Se admitirmos ser contínua em um único elemento de R, podemos então provar que é uma função exponencial, no caso f(x) = 8^x

Answer 2

f(1)=f(1/2+1/2)=(*)=f^2(1/2)= [2·√2]^2 =8

8=f(1)=f(1/3+2/3) = f(1/3)· f(2/3) =f(1/3)· f(1/3+1/3) = f^3(1/3)

--> f(1/3) =2 ; f(2/3) =4

--> f(5/3)=f(1+2/3)=f(1)·f(2/3)= 8·4= 32

Saludos.