Querem resolver 2 problemas interessantes (Wanna solve 2 interesting problems)?

Question

Acho estes 2 problemas bem interessantes, e não são muito difíceis. Convido os que gostam de matemática a resolvê-los:

1) Mostre que, se r1 e r2 são racionais não negativos, então raiz(r1) + raiz(r2) é irracional se, e somente se, raiz(r1) e raiz(r2) forem racionais.

2) Mostre que, se f:R-->R for periódica e não constante, então a função g dada por g(x) = f(1/x), x<>0, não tem limite em x =0.

In English (since I have friends who are English speakers)

I find these 2 problems interesting, though not so difficult:

1) Show that, if r1 e r2 are non negative rationals, then sqrt(r1) + sqrt(r2) is rational if, and only if, sqrt(r1) and sqrt(r2) are rational.

2) Show that, if :R-->R is periodic and non constant, then the function g given by g(x) = f(1/x), x<>0 does not have a limit at x =0.

Oh, houve um engano n o texto em Português:

O certo é

1) Mostre que, se r1 e r2 são racionais não negativos, então raiz(r1) + raiz(r2) é RACIONAL se, e somente se, raiz(r1) e raiz(r2) forem racionais.
Claro.

The english text is correct

Another solution for (1)
Suppose S = sqrt(r1) + sqrt(r2) is rational and admit, by way of contradiction, that one of the numbers sqrt(r1) and sqrt(r2), say sqrt(r1), WLOG, is irrational. Then sqrt(r2) = S - sqrt(r1) => r2 = S^2 - 2S sqrt(r1) + r1. By assumption, S is rational, so that so is S^2. And since, also by assumption, r1 is rational and sqrt(r1) is irrational, it follows r2 is given by the sum of 2 rationals and 1 irrational, which implies it is irrational. But this contradicts the basic assumption that r2 is rational, proving the assertion.

Another solution for (2) (very similar to the one nealjking gave):

Let p> 0 be a period of f. Since f is not constant, there are a and b in [0, p] with f(a) <> f(b). Let the sequence x_n be defined by
x_n = 1/(n*p + a)) if n is odd
x_n = 1/(n*p + b)) if n is even

Since n*p -> oo as n --> oo, x_n --> 0.

And, in addition,

g(x_n) = f(1/x_n) = f(n*p + a) = f(a) if n is odd, and, similarly,
g(x_n) = f(1/x_n) = f(n*p + b) = f(b) if n is even.
So, g(x_n) is the sequence (f(a), f(b), f(a), f(b).....). Since f(a) <> f(b), g(x_n) doesn't converge, though x_n --> 0. Therefore, g can't have a limit at x = 0.

Answer 1

1) r1 and r2 both rational:
a) First, it is obvious that if sqrt(r1) and sqrt(r2) are rational, that (sqrt(r1) + sqrt(r2)) is also rational: the rationals are closed under addition.
b) Second, suppose r1 = a/b, r2 = c/d, and
(sqrt(r1) + sqrt(r2)) = e/f, where all a, b, c, d, e, f are integers. Then:
sqrt(r1) = e/f - sqrt(r2)
r1 = (e/f - sqrt(r2))^2
= (e/f)^2 + r2 - 2*(e/f)*sqrt(r2)

Since r1 = a/b, and r2 = c/d, this implies:
a/b = (e/f)^2 + r2 - 2*(e/f)*sqrt(r2)
= (e/f)^2 + c/d - 2*(e/f)*sqrt(r2)
a/b - c/d - (e/f)^2 = - 2*(e/f)*sqrt(r2)
sqrt(r2) = - (f/(2e))*(a/b - c/d - (e/f)^2)

It is now obvious that sqrt(r2) must be rational, as you easily express it as a ratio of integers by multiplying it out.

2) f: R -->R is periodic and non-constant. Let the period of f be p. So then f(y + n*p) = f(y), for all integers n. Correspondingly, g(1/(y+n*p)) = g(1/y), for all integers n.

Since f is non-constant, it takes on at least two values, so there are values a, b, alpha, beta such that:
- f(a) = alpha
- f(b) = beta
- (alpha - beta) = gamma > 0

So:
- for x = 1/(a + n*p), g(x) = alpha
- for x = 1/(b +n*p), g(x) = beta

Now, if g had a limit at x = 0, I must be able to confine it's values to within epsilon by choosing a small enough neighborhood of x = 0. But at arbitrarily small values of x, I keep getting recurrent values of alpha and beta. So if I choose epsilon = (alpha-beta)/3, even if I guessed
g(0) = (alpha + beta)/2
I would not be able to meet that requirement:
alpha - (alpha + beta)/2 = (alpha - beta)/2 > (alpha - beta)/3, and likewise for recurrent values of beta.

So g(x) has no limit at x = 0.

Answer 2

1) Mostre que, se r1 e r2 são racionais não negativos, então raiz(r1) + raiz(r2) é racional se, e somente se, raiz(r1) e raiz(r2) forem racionais.

Suponha que r1 e r2 são racionais positivos.
Assim, existem números inteiros a,b,c,d tais que:

r1 = a/b e r2 = c/d

raiz(r1) + raiz (r2) = raiz(a/b) + raiz (c/d) = raiz(a)/raiz (b) + raiz (c)/raiz (d) = [raiz(a)raiz(d) + raiz(c)raiz(b) ]/ raiz(b)raiz(d)


(Bom vou pensar mais sobre o assunto, hj tá corrido rs)


2) Mostre que, se f:R-->R for periódica e não constante, então a função g dada por g(x) = f(1/x), x<>0, não tem limite em x =0.

Pensei na função f como sendo por exemplo sen x .

Só q tenho q refletir mais na pergunta

(já responderam e mto bem respondido hehe)

Kisses

=**

Answer 3

Problema:

1) Mostre que, se r1 e r2 são racionais não negativos, então raiz(r1) + raiz(r2) é irracional se, e somente se, raiz(r1) e raiz(r2) forem racionais.

"Resolução-discussão:"

A condição inicial para que um número seja racional (Q) é que Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}. Em outros termos, considera-se como racional, sendo positivo ou negativo, as frações, as raízes exatas e as dízimas "periódicas" finitas e infinitas.

Analisando:

I) R1 e R2 são racionais positivos;
II) raiz(r1) + raiz(r2) é irracional se, e somente se, raiz(r1) e raiz(r2) forem racionais;

Com relação a afirmação I podemos perceber que R1 e R2 pode assumir qualquer valor que se encaixe nas condições expressas inicialmente. Analisando II, teremos o seguinte:

"raiz(r1) + raiz(r2) só será racional" se os seus valores (R1 e R2) forem números quadrados perfeitos, ou seja, que tenham raízes exatas.

"raiz(r1) + raiz(r2) só é irracional" se os seus valores (R1 e R2) forem números que não se enquadrem nos quadrados perfeitos ou alternadamente, um se encaixa e outro não. Como se trata de raízes, as raízes dos números não quadrados perfeitos são sempre dízimas não-periódicas, onde esta é uma característica dos números irracionais.

Assim, prova-se que a soma das raízes de dois números onde pelo menos um é um número não quadrado perfeito é sempre irracional.