derivada de uma funcao?

Question

seja dada uma funcao f:R^n-->R^m. diz-se diferenciavel em Xo se as derivadas parciais de f existem em Xo e
(lim || f(x) - f(xo)-T(x-xo) / || x - xo||) = 0 ,
x-->xo

onde T é a matriz de elementos derivada parcial fi / derivada parcial xj , calculados no ponto x0 e denota-se por Df(xo).

nota: A funcao f:R^n-->R^m é um vetor constituido por m funcoes fi, cada uma delas dependente de n variaveis.
a) formule a regra de cadeia para composicao fog de duas funcoes g:R^m-->R^p
b) sejam dadas as funcoes f(x,y) = (cos y + x^2, e^(x+y)) e g(u,v)=(e^u^2, u-sen v)
1.escreve a formula para fog
2. calcule D(fog)(0,0), usando a regra de cadeia

Answer 1

A regra da cadeia para funções de R^n em R^m é uma extensão da regra da cadia do caso unidimensional.

Suponhamos que g:R^m --> R^n seja diferenciável em um elemento u de R^m e que f:R^n --> R^p seja diferenciável em g(u). Então, h = f o g (que leva elementos de R^m a elementos de R^p) é diferenciável em u e

a )D(h)(u) = (D(f) (g(u)) o D(g)(u) Ou seja, D(h)(u) é a função linear definida em R^n e valores em R^p obtida pela composição da derivada de f em g(u) (uma finção linear de R^n em R^p) com a derivada de g em u (uma função linear de R^m em R^n)

b) A composta f o g é obtida aplicando-se f ao vetor ) (e^u^2, u-sen v). Ou seja, na equação que define f, faça x = e^(u^2) e y = u - sen(v). Álgebra pura.

c) Vamos computar as matrizes jacobianas de f e de g, cujos elementos são as suas derivadas parciais( aqui foi chamado de T) Assim, tomando-se as derivadas parciais de f com relaçao a x e a y para cada um dos 2 vetores que compõem a função, temos que os termos de Tf são:

2x -sen(y) (gradiente da 1a componente)
e^(x + y) e^(x + y) (gradiente da 2a componente)

Os termos de Tg (derivadas parciais com relação a u e v) , com convenção similar, são:

2u e^(u^2) 0
1 -cos(v)

Assim, em (0,0) a matriz jacobiana de g é

0 0
1 -1

E g(0,0) = (1, 0)

Assim, segundo 1, função linear D(f o g)(0,0) associa a cada (u, v) de R^2 o vetor cujas componentes são

2 * 1 * 0 u + (-sen(0) * 0 * v = 0 e
e^(1 + 0) * 1 u + e^(1 + 0) (-1) = e u - ev

Assim, D(fog)(0,0) (u,v) = (0, e u - e v) para todos u e v de R^2.

Confira, poso ter cometido algum engano de álgebra.

Answer 2

ãh?