指數與除法定理，因、倍數判斷，方程式與質數

Question

1.求(7的100次方*5的200次方)除以6的餘數 (*等於乘)
2.9966334*9966332＝99327A93466888，求A＝多少
3.設N為正整數，若N4-7N2+1為質數，求N及此質數 (N4等於N的四次)
4.設P＝(A2-22A+121)(A2-2A+137)，其中A為正整數，若P為質數，求A及P之值
過程要給我喔

第一題我看不懂ㄟ。
第二題我想要的是有沒有比較快的方法，我知道你的，可是乘出來太麻煩了

第一題我瞭了，可是第二題我想問有沒有更快的方法

Answer 1

１
１４＾２除以６
可以看成（６＊２＋２）＾２除以６
用乘法公式展開
（６＊２）＾２＋２＊６＊２＊２＋２＾２
．．．．．．．．．．．．．．．　　
　　　　６的倍數，與餘數無關　　　餘數

求餘數，可以觀察到，相當於先把１４除以６，得餘２
求２＾２除以６的餘數就可以了！

回到題目
（７＾１００＊５＾２００）除以６
　（６＋１）
與（１＾１００＊（２５）＾１００）除以６同餘數
　　．．．．．
　　看成１　　　　６＊４＋１
與（１＊１＾１００）除以６同餘數
所以餘數＝１

２
９９６６３３４＊９９６６３３２
＝（９９６６３３３＋１）＊（９９６６３３３－１）
＝９９６６３３３＾２－１＾２
＝９９３２７７９３４６６８８９－１
＝９９３２７７９３４６６８８８
Ａ＝７

３
Ｎ＾４－７＊Ｎ＾２＋１
＝Ｎ＾４＋２＊Ｎ＋１－９＊Ｎ＾２
＝（Ｎ＾２＋１）＾２－（３＊Ｎ）＾２
＝（Ｎ＾２－３Ｎ＋１）＊（Ｎ＾２＋３Ｎ＋１）
為質數，質數只有可能是１＊質數本身
所以前面為１後面為質數，或前面為質數後面是１
但因為前面是－３Ｎ，後面是＋３Ｎ
所以必定是前面為１
Ｎ＾２－３Ｎ＋１＝１
Ｎ＾２－３Ｎ＝０
Ｎ＊（Ｎ－３）＝０
Ｎ＝０或３
Ｎ＝０代回得題目為１不合
Ｎ＝３代回得題目＝１９
故Ｎ＝３，質數為１９

４
Ｐ＝（Ａ＾２－２２＊Ａ＋１２１）（Ａ＾２－２＊Ａ＋１３７）
為質數，故可能前１後質數或前質數後１
若Ａ＾２－２２Ａ＋１２１＝１
（Ａ－１１）＾２－１＾２＝０
（Ａ－１１－１）＊（Ａ－１１＋１）＝０
Ａ＝１２或１０
代回Ｐ，得Ｐ＝２５７或２１７（２１７非質數，不合）
若Ａ＾２－２＊Ａ＋１３７＝１
Ａ＾２－２＊Ａ＋１３６＝０
Ａ無正整數解
得Ａ＝１２，Ｐ＝２５７

Answer 2

1. 7的不管幾次方除以6皆餘1, 5的偶次方除以6皆餘1,所以原式除以6餘1