Probabilidade x Teorema de Bayes x Probabilidade A Posteriori : Supor ou imaginar uma caixa com três moedas :

Question

Supor ou imaginar uma Caixa com três moedas : Duas moedas honestas com "cara e coroa" e uma moeda desonesta com "duas caras" ( essa moeda não tem a face coroa ).
Retirar ( sortear ) uma moeda ao acaso de dentro dessa caixa, ver o resultado e joga-la para ver se dá cara ou coroa.

Qual a probabidade da moeda jogada ( arremessada ou usada ) ter sido aquela moeda desonesta com "duas caras", após a informação que o resultado do arremesso foi " face cara" ?
Comentários: Este é um experimento de duas etapas, , e queremos calcular a probabilidade de um evento determinado pela 1ª etapa, dado um evento determinado pela 2ª etapa..
Eventos:
A‚ = A moeda retirada é honesta
A„ = A moeda retirada é de duas caras ( desonesta).
B = O resultado final é coroa.
Aplicando a fórmula de Bayes.

P ( A„ / B ) = P ( A„ ) . P ( B / A„) / ( P ( A‚ ).P ( B / A‚ ) + P ( A„ ). P ( B / A„ ) )

P ( A„ / B ) = ............ ?

fim

P ( A„ / B ) = P ( A„ ) . P ( B / A„) / ( P ( A‚ ).P ( B / A‚ ) + P ( A„ ). P ( B / A„ ) )

P ( A„ / B ) = (( 1 / 3 ) . 1 ) dividido ( ( 2 / 3) . ( 1 / 2 )) + (( 1 / 3 ) ( 1 ) ))

P ( A„ / B ) = 1 / 3 dividido ( 2 / 6 ) + ( 1 / 3 )

P ( A„ / B ) = 1 / 3 dividido ( 4 / 6 )
P ( A„ / B ) = ( 1 / 3 ) . ( 6 / 4 )
P ( A„ / B ) = 6 / 12 = 1 / 2
P ( A„ / B ) = 1 / 2
Resposta: P ( A„ / B ) = 1 / 2

Pergunta ainda aberta:
http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AnnnX9InSOrrYAOboqzov6LJ6gt.?qid=20070818082545AAjaKtR

fim

Answer 1

É, de fato, uma aplicação do Teorema de Bayes. Eu, porém, definiria os eventos de modo um pouco diferente do que foi sugerido. Minha formulação:

A = O resultado final é cara
B1 = A moeda retirada é honesta
B2 = A moeda retirada é de duas caras ( desonesta).

Temos um caso de probabilidade a posteriori. Desejamos P(B2/A). Pelo Teorema de Bayes,

P(B2/A) = P(B2 Inter A)/P(A) = (P(A/B2) P(B2))/P(A) =
(P(A/B2) P(B2))/[P(A/B1) P(B1) + P(A/B2) P(B2)].

Agora, vamos aos termos da fórmula acima:

P(A/B1) = 1/2 (é a moeda honesta)
P(B1) = 1/2 (admitindo-se que escolher a moeda honesta ou a desonesta são eventos equiprováveis)
P(A/B2) = 1 (a moeda tem 2 caras)
P(B2) = 1/2.

Com isto, temos que
P(A/B1) P(B1) = 1/2 * 1/2 = 1/4
P(A/B2) P(B2) = 1 * 1/2 = 1/2 E, finalmente,

P(B2/A) = (P(A/B2) P(B2))/[P(A/B1) P(B1 + P(A/B2) P(B2)] = (1/2)/(1/4 + 1/2) = 2/(1 + 2) = 2/3.

Observamos que 2/3 > 1/2. A informação de que o resultado do arremesso foi cara aumentou a probabilidade de que a moeda desonesta tenha sido a escolhida.

Editando:

Não achei erro, você acha que há algo errado?

Answer 2

Bom Dia,

A) a probabilidade de sair a moeda falsa na 1ª tentativa é de 1/3 visto que é 1 tentativa em 3 moedas.

B) a probabilidade de ser uma cara é de 4/6 = 2/3 pk sao 4 'caras' em 6 faces de moeda.

a soma das 2 probabilidades que é no caso de B) acontecer depois de A) faz se multiplicando, logo:

P(AB) = P(A) . P(B) = 1/3 * 2/3 = 2/9