Como mostrar que 10^100 - 4 é divisível por 7?

Question

Este é um problema interessante, embora não tão difícil. Segunda parte: Mostre que 3^101 - 5 també é divisível por 7. Acho que talvez fique mais fácil se você se basear na conclusão anterior.

Answer 1

Hum voltou a perguntar hehe

Parte 1 :

Bom divida 10^4 por 7, vamos ter que:
10^4 / 7 = 1428 e sobram 4.

Ou seja (10^4)mod 7 = 4


Pela propriedade da multiplicação, temos que:

(10^20)mod 7 = (10^4)mod7 *(10^4)mod7 * (10^4)mod7 *(10^4)mod7*(10^4) mod7
(10^20)mod 7 = 4 mod7 *4 mod7 * 4mod7 *4mod7*4 mod7
(10^20)mod 7 = 4^5 mod7
(10^20)mod 7 = 2²^5 mod7
(10^20)mod 7 = 2^10 mod7
(10^20)mod 7 = 1024 mod 7
(10^20)mod 7 = 2 (mod 7)


(10^100) mod 7 = (10^20)mod7 *(10^20)mod7 * (10^20)mod7 *(10^20)mod7*(10^20) mod7

(10^100) mod 7 = 2mod7 *2mod7 * 2mod7 *2mod7*2 mod7

(10^100) mod 7 = 2^5 mod 7 = 32 mod 7 = 4

Logo ao se dividir 10^100 por 7 sobram 4 . Ao se subtrair 4 , então temos um nº divisível por 7.

Logo 10^100 - 4 é divisível por 7.

***

Parte 2

3^101 - 5 =

3^4 = 81
81/ 7 = 11 e sobram 4

Logo temos que:
(3^4)mod 7 = 4 mod 7


Bem aqui vou abreviar um pouco já q alguns cálculos já foram feito antes...
(3^20)mod 7 = 4^5 mod 7 = 1024 mod 7 = 2 mod 7
(3^100)mod 7 = 2^5 mod 7 = 32 mod 7 = 4 mod 7

(3^101)mod 7 = (3^100)mod 7 * 3 (mod 7) = 4 mod 7* 3 mod 7 = 12 mod 7 = 5 mod 7

Logo ao se dividir 3^101 por 7 sobram 5 . Ao se subtrair 5 , então temos um nº divisível por 7.

Logo 3^101 - 5 é divisível por 7.

Kisses

=**

Answer 2

10^100 - 4 = (10^50 -2) * (10^50 + 2)

Modulo (7): 10 = 3
Therefore, by Modulo (7):
10^0 = 1
10^1 = 10 = 3
10^2 = 3^2 = 9 = 2
10^3 = 3^3 = 6
10^4 = 18 = 4
10^5 = 12 = 5
10^6 = 15 = 1

and so 10^50 = 10^48 * 10^2
= (10^6)^8 * 10^2
= 1 * 2
= 2

Therefore, by Modulo (7):
10^100 - 4 = (10^50 - 2)*(10^50 +2)
= (2 - 2) * (2 + 2)
= 0 * 4
= 0

Thus 10^100-4 is divisible by 7.