Prove a desigualdade?

Question

Provar a inequação de young:
sejam p e q números reais positivos, tais que 1/q + 1/p = 1
Provar que para quaisquer números reais não negativos a e b, vale a desigualdade:
a.b <=(menor ou igual) a^p/p +b^q/q

Answer 1

Uma forma de provar esta desigualdade é nos basearmos no fato de que a função exponencial f(x) = e^x é convexa, na realidade estritamente convexa (pois sua segunda derivada, que é a própria f(x) = e^x, é estritamente positiva nos reais). Isto é, para todos reais x e y e todo k em [0, 1],

e^(kx + (1- k)y) <= k e^x + (1 k)e^y (1)

Se 0 < k < 1, a igualdade ocorre se, e somente se, x = y.

No caso, como 1/p + 1/q =1, temos que p e q são positivos . Fazendo k = 1/p, segue-se que 1 - k = 1/q. Substituindo-se m (1) e considerando as propriedades da função exponencial, obtemos:

e^(x/p + y/p) = e^(x/p) e^(y/p) = (e^x)^(1/p) (e^y)^(1/q) <= (e^x)/p + (e^y)/q (2)

Sejam agora a e b números positivos. Façamos x = p ln(a) e y = q ln(b). Então,

e^x = e^(p ln(a)) = (e^ln(a))^p = a^p e, analogamente,
e^y = e^(q ln(b)) = (e^ln(b))^q = b^q

Substituindo em (2), chegamos a

(a^p)^(1/p) (b^q)^(1/q) <= a^p/p + b^q/q e , finalmente,

a.b <= a^p/p + b^q/q

A igualdade ocorre se, e somente se, a^p = b^q.

Answer 2

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