Problem Geometrie?

Question

Kann jemand das Problem lösen: Unter 3 Kugeln, die sich berühren, soll eine dritte, kleinere "versteckt" werden. Welches ist die größtmögliche kleine Kugel? Die großen Kugeln Radius 1
Dank im Voraus, viel Spaß
elara30

Answer 1

0,52977...
oder
(13/18) - 1/(3 * Wurzel aus 3)
grober Rechenweg:
*Dreieck zwischen den drei Kugelmittelpunkten bestimmen
*Mit Pythagoras Höhe des Dreieckes bestimmen
*da Dreieck gleichseitig und somit 60 Grad Winkel mit Anwendung des Cotangens inneres Dreieck (Berührungspunkte der Kugeln) bestimmen
*Mit einer weiteren Anwendung des Cotangens den Abstand zwischen Dreiecksschwerpunkt und Kugel bestimmen.
*Dies ist der Radius der kleinen Kugel auf Höhe 1
*Mit Verhältnissätzen Resthöhe bestimmen
*Resthöhe +1 ist der Durchmesser, dann noch durch 2 für den Radius

@petzer_hz:
Das was Du meinst, ist nur der Kreis, der in der Ebene hineinpasst. Die Kugeln sind aber dreidimensional. Der größte Umfang der kleineren Kugel liegt unterhalb der Ebene der Berührungspunkte, so dass Du mit der Hypothenuse 1+r in der Ebene nicht den gößten Radius der kleinen Kugel betrachtest. sondern nur den Radius des Kreischnittes auf dieser Höhe z.

@petzer_hz, die zweite:
Vielleicht habe ich das mit der Ebene etwas unglücklich ausgedrückt. Ich meinte, dass die Ebene in der sich die drei großen Kugeln berühren, bei Deinem Modell bei z=1 liegt, aber, wenn man sich ein Schnittmodell der kleinen Kugel anschaut, bei der die Schnitte parallel zur x-y Ebene geführt werden, dass dann bei z=1 nicht der Schnitt mit dem größten Umfang oder auch Radius, hat ja das gleiche Verhältnis, sondern sich ein Schnitt aus dem oberen Bereich der Kugel befindet der deutlich kleiner ist. Und wenn ich Dein Modell richtig verstanden habe, hast Du nur die Schittebene und nicht den Raum berücksichtigt.
Zumal auch Dein Ergebnis von 1/4 dazu führt dass die Kugel genau zwischen zwei der großen Kugeln passt, aber nicht den Raum innerhalb der drei großen Kugeln ausfüllt. Und es war ja nach der größtmöglichen kleinen Kugel gefragt.

@petzer_hz, die dritte:
Sorry, aber Du hast recht, ich bin von der falschen Annahme ausgegangen, dass die kleine Kugel durch die Ebene der Berührungspunkte hindurchragt. Das muss natürlich nicht sein. Und ist leider auch nicht so, so dass mein Ansatz zu einem falschen Ergebnis führte.
Aber wenigstens hast Du auch noch einen kleinen Fehler drin. Du darfst als Basis für Dein Dreieck (eine Kathede) nicht Länge 1 annehmen, sondern musst den Mittelpunkt zwischen den 3 Kugeln berücksichtigen, und somit stattdessen 2/(Wurzel aus 3) verwenden.
(1+r)^2 = (2/V3)^2 + (1-r)^2
V steht für das Wurzelzeichen.
Dann kommst Du mit deinem Pythagoras auf r = 1/3.
Können wir uns so einigen?

Answer 2

Lege die 3 großen Kugeln auf eine Ebene, die Du als x-y Ebene definierst, und zwar so, dass sie symmetrisch zum Koordinatenursprung der x-y Ebene liegen. Die z-Koordinate aller 3 Mittelpunkte ist also 1 (Radius). Lege nun die x-Achse in den Berührungspunkt einer der 3 Kugeln mit der x-y Ebene, die x-Koordinate des Mittelpunkts dieser Kugel ist also 1 und die y-Koordinate 0
Aus Symmetriegründen muß der Berührungspunkt mit der x-y Ebene der gesuchten kleinen Kugel im Koordinatenursprung liegen. Ihr Radius sei r.
Zeichne nun ein Dreieck: Verbindungslinie der Mittelpunkte der großen und kleinen Kugel + Linie vom Mittelpunkt der kleinen Kugel parallel zur x-Achse und zwar so lang, bis sie geschnitten wird von der Linie zwischen Mittelpunkt der großen Kugel und seinem Fußpunkt auf der x-Achse.
Wenn Du diese Zeichnung erstellt hast (ist ganz leicht) liegt die Lösung schon da: Du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse (1+r) und den beiden Katheten (1-r) und 1. Also ist (1+r)^2 = 1 + (1-r)^2 und daraus 4r = 1, also r=1/4
@Theo
Was bedeutet "Der größte Umfang der kleineren Kugel liegt unterhalb der Ebene der Berührungspunkte" ? Wie kann ein Umfang (Skalar) unterhalb einer Ebene liegen? Mein Ausgangspunkt war doch nur, dass alle 4 Kugeln auf einem Tisch (Ebene) liegen sollen und dass die kleine Kugel nicht unter diese Ebene reichen soll. Außerdem ist die Verbindungslinie der Mittelpunkte zweier sich berührenden Kugeln die Summe der beiden Radien und geht immer durch den Berührungspunkt. Auch liegt der Berührungspunkt der kleinen Kugel mit der großen unterhalb der Ebene der 3 Berührungspunkte der 3 großen Kugeln.
@Theo die zweite.
Theo Du bist hartnäckig, das ist gut. Aber darf ich Deine geschätzte Aufmerksamkeit auf meinen Satz lenken " Lege nun die x-Achse in den Berührungspunkt einer der 3 Kugeln mit der x-y Ebene, die x-Koordinate des Mittelpunkts dieser Kugel ist also 1 und die y-Koordinate 0"? Wenn Du Dir die einfache Skizze mal anschaust, siehst Du, dass die eine Kathete wirklich die x-Koordinate des Mittelpunkt der einen Kugel, also 1 ist. Sorry, dass ich da auch hartnäckig bin.

Answer 3

Knifflige Frage - da ist die Zusatzfrage von Roland S geradezu leicht: ein die drei Kreismittelpunkte verbindendes Dreieck ist gleichseitig mit der Fläche 1,73205r^2 - und die drei in diesem Dreieck befindlichen Kreissegmente ergeben zusammen einen Halbkreis mit der Fläche 1,57080r^2 ==> Ergebnis ist die Differenz also Fläche gleich 0,16125r^2

Answer 4

Du hast ja schon gute Antworten erhalten, aber hier zum Knobeln so ne ähnliche Aufgabe. Lege drei Euromünzen in einem Dreieck zusammen. Innen entsteht eine Fläche, die wie ein an jeder Seite nach innen gebogenes Dreieck aussieht. Wie groß ist diese Fläche?

Answer 5

also wenn die großen kugeln Radius 1 haben dann bilden deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen 2

im mittelpunkt des dreiecks, also genau unter den drei Kugeln soll ja die vierte liegen richtig? dann wäre der radius der kleinen Kugel die höhe des Dreiecks... also wäre der radius der vierten Kugel ca 1,73 ... hmm, damit isses aber keine "kleine Kugel"

also entweder in deiner beschreibung fehlen n paar infos oder ich hab grad n großen Knick im Hirn


@ Theo_W

ah, ok... ich glaub ich habe meine vierte Kugel in die anderen gesteckt, statt sie darunter zu legen... ;) aber zumindest war der ansatz ok... hehe

Answer 6

Einfach Kleiner Radius Als Dem Kleinesten Kugeln