請高手幫忙解高中數學二題

Question

一、 a,bεR，已知2x^2+ax+1=0,有一根 1+i 。 a=? , b=?

二、從每邊長40公分的正方形薄紙片之四角，各剪下一個同大的等腰直角三角形使之成為正八邊形，求此正八邊形邊長=?

Answer 1

一，a,bεR，已知2x^2+ax+b=0,有一根 1+i 。 a=? , b=?
把1+i, 直接代進去
2*(1+i)^2+a(1+i)+b=0
2*(1+2i-1)+a+ai+b=0
2*(2i)+ai+a+b=0
4i+ai+(a+b)=0
(4+a)i+(a+b)=0
因為實數+虛數不可能=0
所4+a 跟a+b都要等於0,
4+a=0
a=-4
a+b=0
b=-a
b=-(-4)
b=4
(這個做法不需要另一根，就可求解。而且本來就不需另一根)

二、從每邊長40公分的正方形薄紙片之四角，各剪下一個同大的等腰直角三角形使之成為正八邊形，求此正八邊形邊長=?
設剪掉x公分，則斜邊=√(x^2+x^2)=√(2x^2)= √2x
而斜邊會=40-2x
所以40-2x=√2x
40=2x+√2x(這個做法沒有增根的現象，所以沒有合不合的問題。)
(2+√2)x=40(而且計算過程比較簡單。)
x=40/(2+√2);;(有理化)
x=40(2-√2)/(4-2)
x=20(2-√2)
x=40-20√2
x≒11.72公分

2007-08-13 16:54:05 補充：
因為是要求八角型的邊長，不是剪掉的部份，所以還要乘√2
(40-20√2)*√2
=40√2-20*2
=40√2-40
=40(√2-1)
≒16.57公分
才對!

Answer 2

(1)有較快的方法: -a/2=-a/4=(1+i)+(1-i)=2,a=-4 b/2=(1+i)(1-i)=2 b=4

Answer 3

(因第一題並不完全,其中的b不見了,以下為我自己補上,若位置不對,敬請原諒,但做法是正確的)

一、 a,bεR，已知2x^2+ax+1+b=0,有一根 1+i 。 a=? , b=?

ANS:已知2x^2+ax+1=0的係數均為實係數,則根據成雙定理(為實係數則有虛數成雙,為有理係數則有無理係數成雙)
故有一根 1+i ,則必有另一根 1- i .
有根表有因式 2(x- ( 1+ i ))(x- ( 1- i )) = 2x^2 - 4x+2= 2x^2+ax+1+b= 0

故所求 a= - 4 , b= 1.

二、從每邊長40公分的正方形薄紙片之四角，各剪下一個同大的等腰直角三角形使之成為正八邊形，求此正八邊形邊長=?

ANS:設剪下的等腰直角三角形兩邊長 X ,且完成後的正八邊形邊長Y .
則根據畢氏定理得知 第一式: √2 X= Y
再根據邊長之和得知 第二式: 2X+Y= 40

由簡單的解聯立即可求的正八邊形邊長Y= 40( √2 - 1 )

Answer 4

一. b 在哪裡?

我猜題目是2x^2+ax+b=0

因為是實係數方程式 所以虛根一定成對出現

=> (x - (1+i))(x-(1-i))=x^2 - 2x +2 =0

=> 2x^2 -4x +4 =0

所以a = -4 b=4 (如果題目不是這樣 方法同)

二.假設等腰直角三角形 腰長是x

所以斜邊長就是 (2x^2) ^(1/2) ( 2*x平方 全部開根號)

這就是正八邊形的邊長

看原本正方形的一邊 截去兩個腰長 也等於正八邊形的邊長

=> 40-2x = (2x^2) ^(1/2) 解x 得

x= 40 + 20*(2)^(1/2) 此不合 or 40- 20*(2)^(1/2)

所以得邊長是40- 20*(2)^(1/2)

2007-08-16 18:41:55 補充：
嗯~ 還要在乘上 根號2

=> 40* ( 2^(1/2) - 1 )