試求f (x)除以(x－1) (x－2)之餘式為何？

Question

f (x)為n (n≥2, n∈N) 次多項式，已知f (1) = 2, f (2) = 3, 試求f (x)除以(x－1) (x－2)之餘式為何？

Answer 1

因為(n≥2, n∈N)所以可假設f (x)=aX^2+bX+c f (1) = 2, f (2) = 3帶入得a+b+c=2 ---(1式),4a+2b+c=3 ---(2式) aX^2+bX+c除以(x－1) (x－2)得商式為a,餘式為(3a+b)X+(c-2a) 由2式減1式得(3a+b)=1 由1式乘以2減2式得(c-2a)=1 所以答案為X+1

2007-08-13 17:44:22 補充：
意見者請重算一次

Answer 2

GONG 算對了. 建議 GONG,

雖然 n ≥ 2, 並不代表 f ( x ) ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c

f ( x ) 也有可能是 ax^3 ＋ bx^2 ＋ cx ＋ d 喔!

若是這樣, 你們又該如何解?

所以, 本題作法應當如下:

2007-08-13 18:13:33 補充：
設 f ( x ) ＝ Q ( x ) * ( x － 1 ) ( x－ 2 ) ＋ ax ＋ b

f ( 1 ) ＝ a ＋ b ＝ 2 ....... ( 1 )

f ( 2 ) ＝ 2a ＋ b ＝ 3 ....... ( 2 )

( 2 ) － ( 1 )

a ＝ 1

1 ＋ b ＝ 2

b ＝ 1

故, f ( x ) ＝ Q ( x ) * ( x － 1 ) ( x － 2 ) ＋ ( x ＋ 1 )

餘式為 x ＋ 1

答: x ＋ 1

Answer 3

他算錯ㄌ
我算式跟他一樣
不過餘式是
(-3a-b)+(2a-c)
由於3a+b=1
c-2a=-1
所以答案是
-x+1
才是正解