Preciso de ajuda...?

Question

Suponha A > 0. Dado x1 arbitrario, defina (xn) por xn+1= 1/2 .(xn + A/xn), n > ou = 1. Mostre que, se limite lim xn = L com x tendendo a mais infinito, então L = mais ou menos raiz de A.

Answer 1

Veja que x(n+1) é dada recursivamente por x(n+1) = f(x(n)), onde f é a função dada por f(x) = x + A/x, x>0. f é uma função contínua. Logo, se x(n) convergir para algum valor no domínio de f, então o seu limite será um ponto fixo de f, isto é, solução da equação f(x) = x.

Supondo-se L<>0 (se L =0 x(n) não converge, contrariando a hipótese de que converge), temos que n -> oo => x(n+1) --> (1/2)(L + A/L). Como A >0, os termos de x(n) são positivos, de modo que temos L > 0. Além disto, como L é ponto fixo de f, temos que

L = (1/2)(L + A/L) => 2L = L + A/L => L = A/L +> L^2 = A => L = raiz(A). Mas como L >0, a raiz negativa não serve. A resposat certa é L = + raiz(A).