Como provar este fato sobre os primeiros dígitos de 2^n?

Question

Eu acho este um problema bem interessante.

Seja k um inteiro positivo qualquer. Mostre que existe um inteiro positivo n tal que os primeiros dígitos de 2^n, da esquerda para a direita, são os dígitos de k. Por exemplo, se k = 2781, então existe n tal que os 4 primeiros dígitos de 2^n são 2781

Answer 1

Para provar isto, é preciso escrever 2ⁿ como potência de 10:
2^n = 10^(n.log(2)), onde log é o logarítmo na base 10.

Em seguida, separamos n.log(2) na sua parte inteira e fracionária:
i = int(n.log(2))
f = frac(n.log(2))
2^n = 10^i x 10^f

i, potência inteira de 10, representa o n° de digitos de k.
os i primeiros dígitos de f são os próprios dígitos de k.

i pode ser feito tão grande quanto se queira, bastando aumentar n.

Portanto, para completar a prova, é preciso demostrar que f é uniformemente distribuído entre 0 e 1 (e denso, ou seja, assume TODOS os valores entre 0 e 1).

Para isto, usamos uma conseqüencia do critério de Weyl:
frac(nα) é uniformemente distribuído entre 0 e 1 se α for irracional.

Portanto, para completar a prova, basta provar que log(2) é irracional. A prova disto pode ser encontrada nos links nas fontes.

Logo, f é uniformemente distribuído entre 0 e 1.
Conseqüentemente, os i primeiros dígitos de (10^i x 10^f ) = 2^n assumem todos os valores positivos.

q.e.d.

Answer 2

n=10;
k=1024.

Answer 3

ãhn?
oque é 2^n?
hahah