Dividindo-se x² + Kx + 2 por (x - 1) e por (x +1)são encontrados restos iguais entre si! O valor de K é?

Question

Dividindo-se x² + Kx + 2 por (x - 1) e por (x +1)são encontrados restos iguais entre si! O valor de K é?

Answer 1

Sabemos que o resto da divisão de um polinômio por um binômio da forma x - a é o valor do polinômio em a. Assim, os restos das divisões de seu polinômio P por (x -1) e (x +1) são, respectivamente,
P(1) = K + 3 e
P(-1) = - K +3. Como estes restos devem ser iguais, segue-se que

K + 3 = - K + 3 => K = 0. O seu polinômio é, então,

P(x) = x^2 + 2

Se você quiser conferir (não é necessário, basta acreditar na matemática), veja que P(x) = x^2 + 2 = x^2 - 1 + 3 =(x-1)(x+1) + 3. Dividindo-se P(x) por x-1, temos quociente x + 1 e resto 3; e dividindo-se por x +1, temos quociente x -1 e resto também 3.

Answer 2

Chame P=x² + Kx + 2

Vamos usar o Teorema do resto

Primeiro, achamos a raiz do primeiro divisor (x-1):

x-1=0 => x=1

Pelo teorema do resto da divisão de P(x) por (x-1) é igual a P(1):

P(1)=1² + K*1 + 2 = K+3 =R1(x)

Agora achamos a raiz do segundo divisor (x+1):

x+1=0 => x=-1

Pelo teorema do resto da divisão de P(x) por (x+1) é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)² + K*-1 + 2 = -K+3 =R2(x)

Queremos que R1(x) = R2(x), assim, temos:

K+3 = -K+3
2K = 0
K=0

Resposta: K = 0

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Bom aqui vai uns comentários adicionais, só para conferência da resposta que obtivemos.

Observe que para k=0 , temos:
x²+2 = (x²-1)+3 = (x+1)(x-1)+3

Logo qdo dividirmos x²+2 por x+1, o quociente será x-1 e restarão 3 e qdo dividirmos x²+2 por x-1, o quociente será x+1 e restarão 3, sendo portanto os dois restos iguais, como queríamos.
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Kisses

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