Como mostrar que, para n >=2, 1 + 1/2 +1/3.... +1/n nunca é inteiro?

Question

Este é um problema interessante para quem gosta de matemática. Este fato não é assim tão conhecido. Gostaria de ver quais as provas que serão dadas, além de uma que conheço.

Answer 1

Bom essa sequência que vc colocou aqui chama-se série harmônica.

1+1/2+1/3+...+1/n = somatório de k=1 até n f(x)

Para um somatório , qdo f(x) é monotonicamente crescente, podemos aproximar por integrais:

integral de m-1 a n f(x) dx <= somatório de k=m até n f(x) < = integral de m a n+1 f(x) dx


Assim, temos que:

integral de 0 a n 1/x dx <= somatório de k=1 até n 1/x < = integral de 1 a n+1 1/x dx
ln n <= somatório de k=1 até n 1/x < = ln (n+1) - ln 1
ln n <= somatório de k=1 até n 1/x < = ln (n+1)

Como queremos que essa soma seja um inteiro p, temos que:

ln n <= p < = ln (n+1)

Mas repare que isso é impossível, pois entre ln n e ln (n+1) não existe nenhum número inteiro.

(Bom uma maneira intuitiva de ver isso é que a diferença entre n e n-1 é 1, mas como 1 não tem ln, peguemos o 1,1 por exemplo. ln de 1,1 = 0,095 , ou seja, a diferença entre os ln de n e de n+1 não deve ultrapassar de 0,1... e assim naum tem como ter um inteiro entre eles. Fazendo uns cálculos na calculadora vc tb observa isso. Mas se vc quiser, pode provar isso mais formalmente já q num to conseguindo :P )

Logo, assim provamos que a soma nunca é inteiro.

Kisses

=**

Answer 2

Essa pergunta tá muito estranha...
vou ver se acho em algum livro algo do tipo.
se conseguir posto aki
flw...