Como provar que esta série converge para um número irracional?

Question

Acho este problema bem interessante, gostaria de propô-lo àqueles que gostam de matemática. Achei uma solução, gostaria de ver se há outras provas. Se alguém se interessar, envio a minha.

Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau >= 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional.

Answer 1

Bom analisando a questão, talvez um bom meio de se provar seja por absurdo.

Ou seja, partimos da hipótese que:

Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número racional

e mostramos que isso é absurdo.

Hipótese: Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] = a/b


Para um polinômio p(n) de grau k, por notação assintótica, pode mostrar-se que p(n) é teta de n^k , que em outras palavras quer dizer que:

p(n) = teta (n^k ) então:
existem constantes positivas c1,c2 e n0 tal que 0<=c1*n^k<=p(n)<=c2*n^k para todo n>=n0

Logo podemos escrever :
Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] <=Soma (n= 1, oo) 1/[k^c*n^k]

onde c é positivo.

Soma (n= 1, oo) 1/[k^c*n^k] = 1/k^c*1^k + 1/k^c*2^k + 1/k^c*3^k + ... +1/k^c*n^k + 1/k^c*n+1^k + ....


Como queremos que a soma seja a/b:

Soma (n= 1, oo) 1/[k^c*n^k] = 1/k^c^k + 1/k^2c^k + 1/k^3c^k + ... +1/k^nc^k + 1/k^(n+1)*c^k + .... = a/b

1/k^c^k * k^nc^k + 1/k^2c^k * k^nc^k + 1/k^3c^k * k^nc^k+ ... +1/k^nc^k * k^nc^k + 1/k^(n+1)*c^k * k^nc^k + .... = a/b * k^nc^k

k^nc^k/k^c^k + k^nc^k/k^2c^k + k^nc^k/k^3c^k + ... +k^nc^k/k^nc^k + k^nc^k/k^(n+1)*c^k + .... = a/b * k^nc^k

k^(nc^k-c^k) + k^(nc^k-2c^k) + k^(nc^k-3c^k) + ... +1 + k^(nc^k-(n+1)*c^k) + .... = a/b * k^nc^k

k^(c^k(n-1)) + k^(c^k(n-2)) + k^(c^k(n-3)) + ... +1 + k^(c^k(n-(n+1)) + .... = a/b * k^nc^k

k^(c^k(n-1)) + k^(c^k(n-2)) + k^(c^k(n-3)) + ... +1 + k^(-c^k) + .... = a/b * k^nc^k

Multiplicando ambos os lados por b:

b* [k^(c^k(n-1)) + k^(c^k(n-2)) + k^(c^k(n-3)) + ... +1 + k^(-c^k) + .... ] = a * k^nc^k

Como k é um inteiro >=2, c é positivo, n é um inteiro positivo, e a também é um inteiro positivo, temos que a * k^nc^k é um inteiro positivo.

Mas repare que b é um inteiro positivo e assim, [k^(c^k(n-1)) + k^(c^k(n-2)) + k^(c^k(n-3)) + ... +1 + k^(-c^k) + .... ] também deve ser um inteiro positivo.

Mas repare que os termos :
k^(-c^k) + k^(-2c^k)+... não é inteiro.

Logo é absurda a igualdade.

E esse absurdo vem da hipótese de termos assumido que a soma era dada por um racional a/b.

Logo a soma é dada por um número irracional.

Kisses

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