espacos metricos que manja ??

Question

o problema e o seguinte:
mostre que uma funçao dada por
d(x,y)=somatorio ||Xi - Yi|| define uma metrica sobre R^n. esta metrica chama-se metrica de manhattan

yap...............yap..............yap

Answer 1

Para provarmos que d é uma métrica, temos que provar que

a) d(x,y) >= 0 para todos x e y de R^n
b) d(x,y) = 0 se, e somente se, x = y
c) d(x,y) <= d(x,w) + d(w,y) (desigualdade triangular) para todos x, w , y de R^n.

Seja x =(x_1,...x_n) e y =(y_1, ...y_n) vetores de R^n

a) Como ||x_i - y_i|| >= 0 para cada um dos x_i e y_i, temos que d(x,y) = ||x_1 - y_1|| ....+ ||x_n - y_n|| >= 0

b) Se x = y, então x_i = y_i para cada i=1,2...n verificamos trivialmente que d(x,y) = 0. Se x<> y, então para pelos menos uma das componentes i temos x_i <> y_i e, portanto, ||x_i - y_i|| >0. Assim, d(x,y) é dada por uma soma de parcelas não negativas na qual pelo menos uma é positiva. Logo, d(x,y) >0, e concluímos que d(x,y) = 0 se, e somente se, x = y.

c) Para cada i =1,2...n, as propriedades da norma Euclidianas implicam que ||x_i - y_i|| <= ||x_i - w_i|| + ||w_i - y_i||. Logo, d(x,y) = ||x_1 - y_1|| ....+ ||x_n - y_n|| <= ||x_1 - w_1|| + ||w_1 - y_1|| .....+ ||x_n - w_n|| + ||w_n - y_n|| = ||x_1 - w_1|| ...+||x_n - w_n|| + ||w_1 - y_1|| ....+ ||w_n - y_n|| = d(x,w) + d(w,y). Assim, d(x,y) <= d(x,w) + d(w,y) para todos x, w e y de R^n.

Fica assim provado que d é de fato uma métrica em R^n.

Answer 2

sugiro postar no site abaixo no nível superior.
Lá te ajudarão muito.

www.somatematica.com.br