o valor de p para que o trinomio do segundo grau px² - 4p²x + 24p tenha máximo igual a 4k, quando x = k é...

Question

o valor de p para que o trinomio do segundo grau px² - 4p²x + 24p tenha máximo igual a 4k, quando x = k é:
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 1
Qual é o desenvolvimento? Parece que a resposta é -2.

Answer 1

y=p.x^2-4.p^2.x+24.p

Para achar máximo e mínimo deve-se derivar e igualar a zero:

y'=2.p.x-4.p^2=0

x=2.p

Para verificar se é max ou min, precisamos da segunda derivada y". Se y"<0 será máximo.

y"=2p, portanto será máximo para p<0

ymax para x=2.p=k

ymax=4.p^3-8.p^3+24.p=
=4.k=8.p

-4.p^3+24.p=8.p

-4.p^3=-16.p

p^2=4

p=+-2

Como p<0, então p= -2

resposta....p= -2

Answer 2

Um trinômio do segundo grau do tipo y = ax^2 + bx + c, a<>0, passa por um extremo quando x = -b/(2a). Assim, no caso, o ponto extremo ocorre em x* = -(-4p^2)/2(p) = 2p. Como se deseja que x* = k, temos k = 2p. Neste ponto, o trinômio, pelo enunciado, deve apresentar o valor máximo de 4k. Substituindo x* = 2p no trinômio, temos que
4p^3 - 8p^3 + 24 p = 4k = 8p
Logo, -4p^3 + 16 p = 0. Como se trata de um trinômio do segundo grau, não podemos ter p =0. Assim os valores de p são raízes de
-4p^2 + 16 = 0 ou seja, p^2 = 4, p = 2 ou p = -2. Mas como se deseja que o trinômio apresente um máximo, o coeficiente do 2o grau, p, tem que ser negativo. Logo, a resposta é -2. Letra b.

Answer 3

Para x = k obtemos o máximo, então k = x do vértice ;
O máximo é 4k, então 4k = y do vértice.

px² - 4p²x + 24p

Note que tem a forma ax²+bx+c, onde a = p; b = -4p², c = 24 p
e que ela só tem máximo se o coeficiente a=p<0 (pois para a <0 a parábola tem formato de um "U" de cabeça para baixo)

x do vértice = -b/2a
Como k é x do vértice:
k = -(-4p²)/2p
k = 4p²/2p
k = 2p(2p)/2p
k = 2p (1)


Y do vértice = -delta / 4 a

Como o y do vértice = 4 k:

4k = -delta / 4 a
4k = -(b² - 4ac) / 4 a
4k = -((-4p²)² - 4*p*24p) / 4 p
4k = -(16p^4 - 96p²) / 4 p
4k = (-16p^4 + 96p²)/4p
4k = 4p(-4p³+24p)/4p
4k = (-4p³+24p)
4k = 4 (-p³+6p)
k = 4 (-p³+6p)/4
k = (-p³+6p) (2)

Igualando (1) e (2), temos:

k = (-p³+6p)= 2p
(-p³+6p)= 2p
-p³+4p = 0
-p(p²-4) = 0

Temos dois casos:
i) -p = 0 ou ii) p² - 4 = 0

i)-p = 0 => p =0

ii) p² - 4 = 0 => p² = 4 => p'=2 ou p" = -2

Como dizemos antes, o valor de p deve ser menor que zero para que a parábola tenha máximo.

Logo, p só pode ser -2

Resposta: letra b

Kisses

=**