São dados quatro números em PG crescente. A soma dos extremos é 27 e a soma dos meios é 18. Determine-os

Question

A resposta é (3,6,12,24)
Só não entendi por que???
Alguém me explica detalhadamente!!

Answer 1

Em toda PG, o termo de ordem n é dado por a_n = a q^(n-1), sendo a o termo inicial e q a razão. Usando esta fórmula e considerando o enunciado, temos

a_1 + a_4 = a + a q^3 = a(1 + q^3) = 27
a_2 + a_3 = aq + a q^2 = 18

Se a =0 ou q =0, então todos os termos seriam 0 e as condições dadas não poderiam ser atendidas. Assim a <>0, q <>0 e, dividindo-se as 2 equações, obtemos

(1 + q^3)/(q + q^2) = 27/18 = 3/2. Logo,

2 + 2q^3 = 3q + 3q^2 => 2q^3 - 3q^2- 3q + 2 =0. Esta é uma equação do terceiro grau, mas neste caso podemos fatorar assim:

2(q^3 + 1) - 3q(q +1) = 0. E, conforme sabemos, q^3 + 1 = (q + 1)(q^2 - q + 1. Assim, nossa equação fica

2(q+1)(q^2 - q + 1) - 3q(q+1) = 0. Uma das raízes é q = -1. que não serve porque isto ocasiona que os termos alternem em sinal, e se pede que a PG seja crescente. Dividindo por q+1, obtemos a equação

2(q^2 - q + 1) - 3q = 0 => 2q^2 - 5q + 2 =0, agora uma equação do segundo grau. Pela fórmula de Bhaskara, obtemos 2 raízes,

q = (5 + raiz(25 - 16))/4 = (5 + 3)/4 = 2 e q' = (5 - raiz(25 - 16))/4 = (5 -3)/4 = 1/2. Vamos agora analisar o valor de a.

J´s vimos, na 1a equação, que
a(1 + q^3) = 27
Se q = 2, obtemos a* 9 = 27 => a =3. Como a >0 e q = 2 >1, temos uma progressão crescente.

Se q = 1/2, então a *(1 + 1/8) = a *9/8 = 3 => a = 24/9 = 8/3. Como a>0 e q =1/2 < 1, temos uma PG decrescente que não atende ao enunciado..

Assim a única solução é a = 3 e q =2, e os termos são 3, 6, 12, 24.


Se tiver dúvidas, mande-me um email.

Answer 2

What should I avoid?

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Answer 3

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. Esta constante q é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.
Costuma-se denotar por an n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a1 e sua razão q.
Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (a0).
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simples.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1.
As P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.
Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:

P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

Progressão geométrica crescente
Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica crescente:

P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
Progressão geométrica decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica decrescente:

P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2
Progressão geométrica oscilante
Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica oscilante:

P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1
Progressão geométrica quase nula
Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão geométrica quase nula:

P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0
P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

Progressão Aritmética Geométrica
Uma progressão aritmética geométrica é o produto de uma progressão aritmética por uma progressão geométrica.

O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.