Podem ajudar nesta questão sobre triângulo retângulo?

Question

Mostre que, se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então os lados são proporcionais a 3, 4 e 5 e razão da progressão é o raio do círculo inscrito no triângulo.

Obrigada

Answer 1

Parte 1 - os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então os lados são proporcionais a 3, 4 e 5

Sejam :


a ;b = a+r; c=a+2r os lados de um triângulo retângulo.

Obviamente a hipotenusa será o maior lado, c, e os lados a e b serão catetos.

Assim temos:

hipotenusa² = cateto1² + cateto2²
(a+2r)² = a² + (a+r)²

Sabendo que (x+y)² = x² +2xy+y², temos:

a²+4ar+4r² = a² + a²+2ar+ r²
4ar+4r² = a²+2ar+ r²
2ar+3r² -a² = 0
-a²+2ra+3r² = 0

delta = b² -4ac = (2r)²-4*-1*3r² = 4r² + 12r² = 16r²
a' = (-b+ raiz de delta ) /2a = (-2r + 4r) / -2 = 2r/-2 = -r
a" = (-b- raiz de delta ) /2a = (-2r - 4r) / -2 = -6r/-2 = 3r

Assim temos que:

a' = -r , b' = a'+r = 0 , c' = a'+2r = r

a' = -r não nos serve pois o cateto b valeria 0.


a" = 3r , b" = a"+r = 4r , c" = a"+2r =5 r

Assim os lados são a = 3r, b=4r, c = 5r, onde a,b e c são proporcionais, respectivamente a 3,4,5.

**********

Parte 2 - razão da progressão é o raio do círculo inscrito no triângulo.

A área do triângulo é:
s = (Base * Altura)/2


Os lados dele já sabemos que valem 3r,4r e 5r.

Como podemos considerar a e b como base e altura por serem catetos , temos:


2s = a*b
2s = 3r*4r
2s = 12 r²
s = 6r² (1)


Mas a área pode ser calculada também assim: s = p.R

onde p = semiperímetro e r=raio


Como o semi perímetro é metade do perímetro (soma dos lados), temos:

2p (perímetro) = 3r+4r+5r = 12 r
p (semi perímetro)=12 / 2 => p = 6r (2)

Assim, agora temos que:

s = p.R

substituindo (1) e (2):
6r² = 6r.R
R = r

ou seja, raio = razão da PA, como queríamos provar.

Kisses

=**

Answer 2

Cara amiga ,

Sejam os catetos e a hipotenusa do triângulo retângulo representados por :

cateto menor --> a - r , onde r ---> razão da PA

cateto maior --> a

hipotenusa --> a + r

Por outro lado , pelo Teorema de Pitágoras , temos :

(hipotenusa)² = (cateto menor)² + (cateto maior)² , logo :

( a + r )² = ( a - r )² + a² ---> Não esqueça do produto notável

a² + 2ar + r² = a² - 2ar + r² + a²

a² + 2ar + r² - a² + 2ar - r² - a² = 0

4ar - a² = 0 ---> a . ( 4r - a ) = 0 ---> a = 0 OU 4r = a

Como(a) deve ser diferente de zero ---> a = 4r

Então , teremos :

cateto menor ---> a - r = 4r - r = 3r

cateto maior ---> a = 4r

hipotenusa ---> a + r = 4r + r = 5r

Como os lados são 3r , 4r , 5r , então esses lados são proporcionais respectivamente à 3 , 4 , e 5

###############################################

Para mostrarmos que a razão da progressão (r) é o raio do círculo inscrito no triângulo (R), vamos trabalhar com a área do triângulo retângulo (A) :

A = (base x altura)/2

A = (3r x 4r)/2 = 12r²/2 = 6r² ---> ( 1ª relação )

Por outro lado , a área de um polígono é dada por :

A = p x a , onde : p ---> semi-perímetro

a ---> apótema

No nosso caso , o polígono é o triângulo retângulo , o semi-perímetro (p) = (3r+4r+5r)/2 = 12r/2 = 6r , e o apótema é o raio do círculo inscrito no triângulo (R) , logo :

A = 6r x R ---> ( 2ª relação )

Comparando a 1ª relação com a 2ª relação , temos :

6r² = 6r x R --->( : 6r )---> r = R , como queríamos demonstrar !!!!!!!!


Um abraço e procure votar na melhor resposta para você , ok?

Answer 3

Eu só gostaria de dar uma prova diferente daquela do Prof. Carlos Homero para a parte final da questão. Em todo triângulo retângulo, o raio do círculo inscrito é dado por R = p - a, sendo p o semiperímetro e a a hipotenusa. Como, no caso, a = 5r, b = 4r e c = 3r, temos que R = (5r + 4r + 3r)/2 - 5r = r, conforme afirmado.